Utilize o método das variáveis separáveis para obter a solução geral das EDO y' = 5y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO) usando o método das variáveis separáveis. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais, onde a gente aprende a resolver equações que envolvem derivadas. Para resolver essa EDO, vamos precisar separar as variáveis e e integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que todas as partes com fiquem de um lado e as com do outro. Lembrando que é a derivada de em relação a , ou seja, .
Então, temos:
Vamos separar as variáveis dividindo ambos os lados por e multiplicando por :

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral. A integral de é e a integral de é .
onde é a constante de integração.

Passo 4

Para resolver para , vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados da equação:
Como é apenas uma constante positiva, podemos escrever , onde é uma nova constante. Além disso, podemos considerar que pode ser positivo ou negativo, então simplificamos para:
onde é uma constante qualquer.

Resposta

A solução geral da EDO é:
onde é uma constante arbitrária.

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