Se z = 5 x^2 + y^2 e (x, y) varia de 1,2 para (1.05, 2.1), escreva os valores de Delta z e d z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e estamos analisando como muda quando os valores de e mudam de para . Vamos calcular duas coisas: , que é a mudança real em , e , que é a aproximação dessa mudança usando cálculo diferencial. Para isso, vamos precisar entender como calcular essas mudanças passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular , que é a diferença real entre o novo valor de e o valor inicial. Para isso, substituímos os valores antigos e novos de e na função.
Valor inicial:
Valor final:
Então, a mudança real é:

Passo 3

Agora, vamos calcular , que é a variação aproximada de usando cálculo diferencial. Para isso, precisamos das derivadas parciais de em relação a e .
Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
No ponto inicial :
Agora, encontramos as variações e :
Então, o diferencial é:

Resposta

A mudança real em é e a variação aproximada usando diferenciais é .

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