Usando o teste da integral, determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}+1};

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o teste da integral na série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}+1}
O conteúdo é o teste de convergência pela integral imprópria, que exige definir uma função contínua, positiva e decrescente cujo valor em n seja o termo geral da série.

Passo 2

Definimos
f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}+1},
para x\ge1. Observamos que f(x)>0 e, como o denominador \sqrt{x}+1 cresce com x, a função é decrescente. Portanto podemos usar o teste da integral.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x}+1}.
Fazemos a substituição t=\sqrt{x}, logo x=t^2 e dx=2t\,dt. Assim
\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x}+1} = \int_{t=1}^{\infty} \frac{2t}{t+1}\,dt.
Escrevemos
\frac{2t}{t+1} = 2 - \frac{2}{t+1},
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\int_{1}^{\infty} \frac{2t}{t+1}\,dt = \int_{1}^{\infty} 2\,dt - 2\int_{1}^{\infty} \frac{dt}{t+1}.

Passo 4

A integral
\int_{1}^{\infty} 2\,dt
é claramente divergente (vai a +\infty), portanto
\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x}+1} = +\infty.
Pelo teste da integral, se a integral associada diverge, então a série também diverge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}+1} diverge.

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