Usando seus conhecimentos de testes para convergência, determine se as séries abaixo convergem absolutamente, condicionalmente ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^{n}}{n^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^{n}}{n^{3}}.
O conteúdo relevante aqui é o teste da série pelo termo geral (condição necessária) e, se necessário, o teste da razão para séries de termos com fator exponencial.

Passo 2

Vamos verificar o teste do termo geral. Denotando
a_{n} = \frac{(-3)^{n}}{n^{3}},
observe que
\bigl|a_{n}\bigr| = \frac{3^{n}}{n^{3}}.
Como a parte exponencial 3^{n} cresce muito mais rápido que o polinômio n^{3}, temos
\lim_{n\to\infty}\bigl|a_n\bigr| = \lim_{n\to\infty}\frac{3^{n}}{n^{3}} = \infty.
Em particular
\lim_{n\to\infty}a_n \neq 0,
de modo que a condição necessária para convergência falha. Portanto a série diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados