Usando o teste da integral, determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
;
Passo 1
O enunciado pede para usar o teste da integral a fim de decidir se a série
converge ou diverge. O teste da integral diz que, se
for contínua, positiva e decrescente para
, então
e
convergem ou divergem simultaneamente.
Passo 2
Definimos
Verificamos rapidamente que para
:
-
. -
é contínua em . - A derivada
é negativa para
, logo
é decrescente.
Passo 3
Calculamos a integral imprópria
Fazendo a substituição
,
, obtemos
Portanto,
que é finito.
Passo 4
Como a integral
converge (é um número finito), pelo teste da integral a série
também converge.
Resposta
A série converge.