Usando o teste da integral, determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4 n^{2}+1};

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da integral a fim de decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n^{2}+1}
converge ou diverge. O teste da integral diz que, se f(x) for contínua, positiva e decrescente para x\ge1, então
\sum_{n=1}^{\infty}f(n)
e
\int_{1}^{\infty}f(x)\,dx
convergem ou divergem simultaneamente.

Passo 2

Definimos
f(x)=\frac{1}{4x^{2}+1}.
Verificamos rapidamente que para x\ge1:
  1. f(x)>0.
  2. f é contínua em [1,\infty).
  3. A derivada
f'(x)=-\frac{8x}{(4x^{2}+1)^{2}}
é negativa para x>0, logo f é decrescente.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{4x^{2}+1}\,dx.
Fazendo a substituição u=2x, du=2\,dx, obtemos
\int\frac{1}{4x^{2}+1}\,dx =\int\frac{1}{u^{2}+1}\,\frac{du}{2} =\frac{1}{2}\arctan(u) =\frac{1}{2}\arctan(2x).
Portanto,
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{4x^{2}+1}\,dx =\lim_{b\to\infty}\frac{1}{2}\bigl[\arctan(2b)-\arctan(2)\bigr] =\frac{1}{2}\Bigl(\frac{\pi}{2}-\arctan(2)\Bigr),
que é finito.

Passo 4

Como a integral
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{4x^{2}+1}\,dx
converge (é um número finito), pelo teste da integral a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n^{2}+1}
também converge.

Resposta

A série converge.

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