Usando o teste de Leibniz, determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n+3}};

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série alternante
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n+3}}
usando o teste de Leibniz. O teste de Leibniz exige verificar três condições sobre os termos em valor absoluto b_n=\tfrac{1}{\sqrt{n+3}}:
  1. b_n>0 para todo n.
  2. (b_n) é monótona decrescente.
  3. \lim_{n\to\infty}b_n=0.

Passo 2

Definimos
b_n = \frac{1}{\sqrt{n+3}}>0
para todo n\ge1. Assim, a série pode ser escrita como
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n b_n.

Passo 3

Mostramos que b_n é decrescente. Compare b_{n+1} e b_n:
b_{n+1} = \frac{1}{\sqrt{n+4}} \quad\text{e}\quad b_n = \frac{1}{\sqrt{n+3}}.
Como \sqrt{n+4}>\sqrt{n+3}, segue
b_{n+1} = \frac{1}{\sqrt{n+4}} < \frac{1}{\sqrt{n+3}} = b_n.
Logo, (b_n) é monótona decrescente.

Passo 4

Calculamos o limite de b_n:
\lim_{n\to\infty}b_n = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n+3}} = 0.

Passo 5

Como b_n>0, (b_n) é decrescente e \lim_{n\to\infty}b_n=0, pelo teste de Leibniz a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n b_n
converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+3}} converge.

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