Usando o teste de Leibniz, determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
;
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série alternante
usando o teste de Leibniz. Vamos verificar as hipóteses do teste: os termos em módulo devem ser positivos, decrescentes e tenderem a zero.
Passo 2
Defina
. Para
,
. Para mostrar que
é decrescente, considere a função
O derivado de
é
Como para
temos
, segue
. Logo,
é decrescente a partir de
.
Passo 3
Calcule o limite dos termos gerais:
Passo 4
Pelo teste de Leibniz (ou teste da série alternante), como
,
é decrescente e
, concluímos que
converge.
Passo 5
Para verificar convergência absoluta, considere
Pelo teste da integral, note que
logo a série dos valores absolutos diverge. Portanto a convergência é apenas condicional.
Resposta
A série converge condicionalmente pelo teste de Leibniz e diverge quando se considera a soma dos módulos dos termos.