Usando o teste de Leibniz, determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n \ln (n)};

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série alternante
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n\ln(n)}
usando o teste de Leibniz. Vamos verificar as hipóteses do teste: os termos em módulo devem ser positivos, decrescentes e tenderem a zero.

Passo 2

Defina a_{n} = \tfrac{1}{n\ln(n)}. Para n\ge2, a_{n}>0. Para mostrar que (a_{n}) é decrescente, considere a função
f(x) = \frac{1}{x\ln(x)},\quad x>1.
O derivado de f é
f'(x) = -\frac{\ln(x)+1}{x^{2}\bigl(\ln(x)\bigr)^{2}}.
Como para x\ge2 temos \ln(x)+1>0, segue f'(x)<0. Logo, (a_{n}) é decrescente a partir de n=2.

Passo 3

Calcule o limite dos termos gerais:
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n\ln(n)} =0.

Passo 4

Pelo teste de Leibniz (ou teste da série alternante), como a_{n}>0, (a_{n}) é decrescente e \lim_{n\to\infty}a_{n}=0, concluímos que
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n\ln(n)}
converge.

Passo 5

Para verificar convergência absoluta, considere
\sum_{n=2}^{\infty}a_{n} = \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln(n)}.
Pelo teste da integral, note que
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x\ln(x)} = \bigl[\ln(\ln(x))\bigr]_{2}^{\infty} = \lim_{t\to\infty}\ln\bigl(\ln(t)\bigr)-\ln\bigl(\ln(2)\bigr) = \infty,
logo a série dos valores absolutos diverge. Portanto a convergência é apenas condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente pelo teste de Leibniz e diverge quando se considera a soma dos módulos dos termos.

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