Usando o teste de Leibniz, determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n^{2}}{n^{2}+1};

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste de Leibniz na série
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}\,\frac{n^{2}}{n^{2}+1}.
O conteúdo é o critério de Leibniz para séries alternantes, que exige dois pontos:
  1. Os termos gerais em valor absoluto formarem uma sequência não crescente.
  2. O limite dos termos em valor absoluto ser zero.

Passo 2

Definimos
b_{n} = \frac{n^{2}}{n^{2}+1},
de modo que a série fica
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}b_{n}.
Pelo teste de Leibniz, se \{b_{n}\} for decrescente e \lim_{n\to\infty}b_{n}=0, então a série converge.

Passo 3

Vamos verificar o limite de b_{n}:
\lim_{n\to\infty} b_{n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^{2}}{n^{2}+1} = 1\neq 0.
Como o termo geral não tende a zero, a série não satisfaz a condição necessária à convergência (que vale para qualquer série, alternante ou não).

Resposta

A série diverge, pois \lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n^{2}+1}=1\neq0, logo os termos gerais não vão a zero.

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