Usando o teste de Leibniz, determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(2 n-1)!};

Passo 1

O enunciado pede para analisar, pelo teste de Leibniz, a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}.
O conteúdo é o teste de Leibniz para séries alternadas, que exige verificar duas coisas na sequência
b_n = \frac{1}{(2n-1)!}:
  1. b_n é decrescente,
  2. \lim_{n\to\infty}b_n = 0.

Passo 2

Primeiro notamos que os sinais alternam, pois há o fator (-1)^{n-1}. Logo aplicamos o teste de Leibniz às parcelas positivas
b_n = \frac{1}{(2n-1)!},\quad b_n>0.

Passo 3

Vamos mostrar que \lim_{n\to\infty}b_n = 0. Como o fatorial cresce mais rápido que qualquer potência, temos
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(2n-1)!} = 0.

Passo 4

Agora verificamos que b_n é decrescente para n\ge1. Compare
\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{\frac{1}{(2(n+1)-1)!}}{\frac{1}{(2n-1)!}} = \frac{(2n-1)!}{(2n+1)!} = \frac{1}{(2n)(2n+1)}<1.
Logo b_{n+1}<b_n.

Passo 5

Como b_n>0, b_n decresce e \lim_{n\to\infty}b_n=0, pelo teste de Leibniz a série alternada converge.

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!} converge.

Exercícios relacionados