Usando o teste de Leibniz, determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
;
Passo 1
O enunciado pede para analisar, pelo teste de Leibniz, a série alternada
O conteúdo é o teste de Leibniz para séries alternadas, que exige verificar duas coisas na sequência
-
é decrescente, -
.
Passo 2
Primeiro notamos que os sinais alternam, pois há o fator
. Logo aplicamos o teste de Leibniz às parcelas positivas
Passo 3
Vamos mostrar que
. Como o fatorial cresce mais rápido que qualquer potência, temos
Passo 4
Agora verificamos que
é decrescente para
. Compare
Logo
.
Passo 5
Como
,
decresce e
, pelo teste de Leibniz a série alternada converge.
Resposta
A série
converge.