Usando o teste da raiz, examine, quanto à convergência as séries abaixo
Passo 1
O enunciado pede para usar o teste da raiz e examinar a convergência da série
Informações dadas e observações iniciais:
- O termo geral é
. - Todos os termos são positivos:
para todo . - A tarefa é aplicar o teste da raiz (Cauchy) para decidir convergência.
Passo 2
Lembrete (aula rápida) do teste da raiz: para uma série
define-se
As conclusões são:
- Se
, a série converge absolutamente (logo converge). - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Explicando de forma simples: a quantidademede, em média, a razão do termo comparada a uma razão geométrica; se essa média fica abaixo de a série se comporta como uma geométrica convergente.
Passo 3
Vamos calcular
para
. Usando regras de potências (para
e
vale
):
Detalhe didático: escrevendo
, então o inverso dá
.
Passo 4
Agora tomamos o limite (ou limsup) quando
:
Justificativa simples:
tende a zero quando
cresce sem bound; logo o limsup também é
.
Passo 5
Aplicando o teste da raiz: como
, a série
converge absolutamente. Conclusão prática para a prova: pelo teste da raiz, a série converge.
Resposta
A série
converge absolutamente (logo converge).