Usando o teste da raiz, examine, quanto à convergência as séries abaixo
\sum_{1} \frac{1}{n^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da raiz e examinar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{n}}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{1}{n^{n}}.
  • Todos os termos são positivos: a_n>0 para todo n.
  • A tarefa é aplicar o teste da raiz (Cauchy) para decidir convergência.

Passo 2

Lembrete (aula rápida) do teste da raiz: para uma série \sum a_n define-se
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
As conclusões são:
  • Se L<1, a série converge absolutamente (logo converge).
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
    Explicando de forma simples: a quantidade \sqrt[n]{|a_n|} mede, em média, a razão do termo a_n comparada a uma razão geométrica; se essa média fica abaixo de 1 a série se comporta como uma geométrica convergente.

Passo 3

Vamos calcular \sqrt[n]{|a_n|} para a_n=\dfrac{1}{n^{n}}. Usando regras de potências (para n\ge1 e n>0 vale (x^n)^{1/n}=x):
\sqrt[n]{|a_n|}=\sqrt[n]{\frac{1}{n^{n}}}=\left(\frac{1}{n^{n}}\right)^{1/n}=\frac{1}{n}.
Detalhe didático: escrevendo \left(n^{n}\right)^{1/n}=n^{n\cdot(1/n)}=n^{1}=n, então o inverso dá 1/n.

Passo 4

Agora tomamos o limite (ou limsup) quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.
Justificativa simples: 1/n tende a zero quando n cresce sem bound; logo o limsup também é 0.

Passo 5

Aplicando o teste da raiz: como L=0<1, a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{n}} converge absolutamente. Conclusão prática para a prova: pelo teste da raiz, a série converge.

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{n}} converge absolutamente (logo converge).

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