Mostre que, quando
,
Conclua que
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Mostrar a igualdade, para
,
- Concluir a partir disso que
Informações relevantes fornecidas:
- A função a ser expandida é
no intervalo . - Aparece uma série com termos
e coeficientes envolvendo . - O objetivo final é obter um valor fechado para a soma
.
Passo 2
Estratégia e conceito necessário (passo-a-passo didático):
- Vamos escrever
como série de cossenos no intervalo . Isso é a chamada série de Fourier do tipo “meia-intervalo” (série de cossenos), que representa a função por uma soma
onde os coeficientes são dados por
- Explicando devagar: a razão do fator
vem da ortogonalidade das funções em . Essas fórmulas dão os coeficientes que reproduzem (sob hipóteses de regularidade; é perfeitamente regular). - Aplicaremos essas fórmulas para
, calculando primeiro e depois com integração por partes (duas vezes) para a integral com .
Passo 3
Cálculo de
:
- Calcular a integral
- Então
- O termo constante na série é
. (Este será o termo constante da expansão.)
Passo 4
Cálculo de
para
: preparar a integral
Defina
para simplificar a escrita. Então precisamos de
com
. Vamos calcular
por partes (duas vezes).
Passo 5
Integral por partes — primeira vez:
- Seja
, . Então , . - Assim
Passo 6
Integral por partes — segunda vez (para
):
- Tome
, . Então , . - Logo
Passo 7
Retornando a
:
- Substituindo
em ,
- Agora usar
. Para ,
- Assim os termos com
desaparecem e resta
- Lembrando
, obtemos
Passo 8
Calcular
a partir de
:
- Lembrando
, temos
Passo 9
Escrever a série completa para
em
:
- Substituindo
e na fórmula da série de cossenos,
- Factorizando
,
o que é equivalente à forma
(Esta é a expressão correta obtida pelo cálculo. Observe que o termo constante é
.)
Passo 10
Determinar a soma
usando a série:
- Avalie a série no ponto
. À esquerda . À direita para todo . Substituindo em
- Divida por
(assumindo ):
- Daí
Passo 11
Checagem alternativa rápida (conhecimento clássico):
- A soma alternada
é o valor da função de Dirichlet e satisfaz . - Portanto
, confirmando o resultado do passo anterior.