Mostre que, quando 0 \leq x \leq c,
x^{2}=\frac{c^{3}}{3}+\frac{4 c^{2}}{\pi^{2}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{2}} \cos \frac{n \pi x}{c}
Conclua que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{12}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Mostrar a igualdade, para 0 \le x \le c,
x^{2}=\frac{c^{3}}{3}+\frac{4 c^{2}}{\pi^{2}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{2}} \cos \frac{n \pi x}{c}.
  • Concluir a partir disso que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{12}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função a ser expandida é f(x)=x^{2} no intervalo [0,c].
  • Aparece uma série com termos \cos\frac{n\pi x}{c} e coeficientes envolvendo \frac{(-1)^{n}}{n^{2}}.
  • O objetivo final é obter um valor fechado para a soma \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{2}}.

Passo 2

Estratégia e conceito necessário (passo-a-passo didático):
  • Vamos escrever x^{2} como série de cossenos no intervalo [0,c]. Isso é a chamada série de Fourier do tipo “meia-intervalo” (série de cossenos), que representa a função por uma soma
f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\cos\frac{n\pi x}{c},
onde os coeficientes são dados por
a_{0}=\frac{2}{c}\int_{0}^{c} f(x)\,dx,\qquad a_{n}=\frac{2}{c}\int_{0}^{c} f(x)\cos\frac{n\pi x}{c}\,dx\quad(n\ge1).
  • Explicando devagar: a razão do fator \frac{2}{c} vem da ortogonalidade das funções \cos\frac{n\pi x}{c} em [0,c]. Essas fórmulas dão os coeficientes que reproduzem f (sob hipóteses de regularidade; x^{2} é perfeitamente regular).
  • Aplicaremos essas fórmulas para f(x)=x^{2}, calculando primeiro a_{0} e depois a_{n} com integração por partes (duas vezes) para a integral com x^{2}\cos(\cdot).

Passo 3

Cálculo de a_{0}:
  • Calcular a integral
\int_{0}^{c} x^{2}\,dx=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{c}=\frac{c^{3}}{3}.
  • Então
a_{0}=\frac{2}{c}\int_{0}^{c} x^{2}\,dx=\frac{2}{c}\cdot\frac{c^{3}}{3}=\frac{2c^{2}}{3}.
  • O termo constante na série é \dfrac{a_{0}}{2}=\dfrac{c^{2}}{3}. (Este será o termo constante da expansão.)

Passo 4

Cálculo de a_{n} para n\ge1: preparar a integral
a_{n}=\frac{2}{c}\int_{0}^{c} x^{2}\cos\frac{n\pi x}{c}\,dx.
Defina k=\dfrac{n\pi}{c} para simplificar a escrita. Então precisamos de
I=\int_{0}^{c} x^{2}\cos(kx)\,dx,
com k=\dfrac{n\pi}{c}. Vamos calcular I por partes (duas vezes).

Passo 5

Integral por partes — primeira vez:
  • Seja u=x^{2}, dv=\cos(kx)\,dx. Então du=2x\,dx, v=\dfrac{\sin(kx)}{k}.
  • Assim
I=\left[x^{2}\cdot\frac{\sin(kx)}{k}\right]_{0}^{c}-\int_{0}^{c}\frac{\sin(kx)}{k}\cdot 2x\,dx = \frac{c^{2}\sin(kc)}{k}-\frac{2}{k}\int_{0}^{c} x\sin(kx)\,dx.

Passo 6

Integral por partes — segunda vez (para J=\int_{0}^{c} x\sin(kx)\,dx):
  • Tome u=x, dv=\sin(kx)\,dx. Então du=dx, v=-\dfrac{\cos(kx)}{k}.
  • Logo
J=\left[-\frac{x\cos(kx)}{k}\right]_{0}^{c}+\int_{0}^{c}\frac{\cos(kx)}{k}\,dx = -\frac{c\cos(kc)}{k}+\frac{1}{k}\left[\frac{\sin(kx)}{k}\right]_{0}^{c} = -\frac{c\cos(kc)}{k}+\frac{\sin(kc)}{k^{2}}.

Passo 7

Retornando a I:
  • Substituindo J em I,
I=\frac{c^{2}\sin(kc)}{k}-\frac{2}{k}\left(-\frac{c\cos(kc)}{k}+\frac{\sin(kc)}{k^{2}}\right) = \frac{c^{2}\sin(kc)}{k}+\frac{2c\cos(kc)}{k^{2}}-\frac{2\sin(kc)}{k^{3}}.
  • Agora usar kc=n\pi. Para n\in\mathbb{Z},
\sin(kc)=\sin(n\pi)=0,\qquad \cos(kc)=\cos(n\pi)=(-1)^{n}.
  • Assim os termos com \sin(kc) desaparecem e resta
I=\frac{2c\cos(kc)}{k^{2}}=\frac{2c(-1)^{n}}{k^{2}}.
  • Lembrando k^{2}=\dfrac{n^{2}\pi^{2}}{c^{2}}, obtemos
I=\frac{2c(-1)^{n}}{\,n^{2}\pi^{2}/c^{2}\,}= \frac{2(-1)^{n}c^{3}}{n^{2}\pi^{2}}.

Passo 8

Calcular a_{n} a partir de I:
  • Lembrando a_{n}=\dfrac{2}{c}I, temos
a_{n}=\frac{2}{c}\cdot\frac{2(-1)^{n}c^{3}}{n^{2}\pi^{2}}=\frac{4(-1)^{n}c^{2}}{n^{2}\pi^{2}}.

Passo 9

Escrever a série completa para x^{2} em [0,c]:
  • Substituindo a_{0}/2 e a_{n} na fórmula da série de cossenos,
x^{2}=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\cos\frac{n\pi x}{c} = \frac{c^{2}}{3}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4(-1)^{n}c^{2}}{n^{2}\pi^{2}}\cos\frac{n\pi x}{c}.
  • Factorizando c^{2},
x^{2}=c^{2}\left(\frac{1}{3}+\frac{4}{\pi^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\cos\frac{n\pi x}{c}\right),
o que é equivalente à forma
x^{2}=\frac{c^{2}}{3}+\frac{4c^{2}}{\pi^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\cos\frac{n\pi x}{c}.
(Esta é a expressão correta obtida pelo cálculo. Observe que o termo constante é \dfrac{c^{2}}{3}.)

Passo 10

Determinar a soma \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n^{2}} usando a série:
  • Avalie a série no ponto x=0. À esquerda x^{2}=0. À direita \cos\frac{n\pi x}{c}=\cos 0=1 para todo n. Substituindo em
0=\frac{c^{2}}{3}+\frac{4c^{2}}{\pi^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}.
  • Divida por c^{2} (assumindo c\neq 0):
0=\frac{1}{3}+\frac{4}{\pi^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}.
  • Daí
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}=-\frac{\pi^{2}}{12}.

Passo 11

Checagem alternativa rápida (conhecimento clássico):
  • A soma alternada \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}}{n^{2}} é o valor da função de Dirichlet \eta(2) e satisfaz \eta(2)=(1-2^{1-2})\zeta(2)=\tfrac{1}{2}\zeta(2)=\tfrac{\pi^{2}}{12}.
  • Portanto \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n^{2}}=-\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}}{n^{2}}=-\dfrac{\pi^{2}}{12}, confirmando o resultado do passo anterior.

Resposta

x^{2}=\dfrac{c^{2}}{3}+\dfrac{4c^{2}}{\pi^{2}}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n^{2}}\cos\frac{n\pi x}{c}\
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n^{2}}=-\dfrac{\pi^{2}}{12}

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