Use a identidade de Parseval para justificar que, para \alpha \leq 2,
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin (n x)}{n^{n}}
não é série de Fourier de nenhuma funçāo f(x).

Passo 1

Primeiro vou deixar claro o que o enunciado diz e uma correção necessária que vou assumir antes de começar a resolver (sem pedir nada a você).
  • O enunciado literal traz a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^{n}} mas também fala em um parâmetro \alpha e pede uma conclusão para “ \alpha\leq 2”. Isso é incompatível: o expoente n não é um parâmetro \alpha.
  • Para que a questão faça sentido, interpreto que a série correta é \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^{\alpha}} com parâmetro \alpha>0. Vou trabalhar com essa forma. Se, por acaso, o enunciado original realmente queria n^{n}, avise — nesse caso a série converge super-rapidinho e a conclusão pedida não se aplica da mesma forma.
O que o problema pede (na interpretação que vou usar):
  • Usar a identidade de Parseval para justificar que, sob uma certa condição sobre \alpha, a série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^{\alpha}}não pode ser a série de Fourier de nenhuma função f(x).
Informações dadas (que vou usar):
  • A série tem termos de seno apenas, logo, se fosse uma série de Fourier usual em (-\pi,\pi) com período 2\pi, ela corresponderia a coeficientes a_n=0 e b_n=\dfrac{1}{n^{\alpha}}.

Passo 2

Vou lembrar a identidade de Parseval (versão para séries trigonométricas reais) e explicar exatamente o que ela exige.
  • Teorema de Parseval (forma útil aqui). Se f é uma função 2\pi-periódica em L^{2}(-\pi,\pi) e tem a série de Fourier f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr),então vale a identidade de Parseval \frac{a_0^{2}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n^{2}+b_n^{2}\bigr) =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^{2}\,dx.
  • Interpretação prática: os coeficientes a_n,b_n têm que ser quadrado-somáveis, isto é \sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n^{2}+b_n^{2}\bigr)<\infty,sempre que f\in L^{2}(-\pi,\pi). Se essa soma diverge, não existe f\in L^{2} cuja série de Fourier tenha esses coeficientes.
Vou usar exatamente essa condição: Parseval dá uma condição necessária (quadrado-somabilidade dos coeficientes) para que uma sequência seja sequência de coeficientes de Fourier de alguma função em L^{2}.

Passo 3

Identificar os coeficientes da série dada e escrever a soma de quadrados que Parseval exige convergir.
  • A série considerada é \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^{\alpha}}.Comparando com a forma geral da série de Fourier, isso corresponde a a_n=0 e b_n=\dfrac{1}{n^{\alpha}} para n\ge 1.
  • A condição de Parseval exige então que \sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n^{2}+b_n^{2}\bigr) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2\alpha}}seja finita para que exista f\in L^{2}(-\pi,\pi) com esses coeficientes.

Passo 4

Estudar a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2\alpha}}: critério de convergência (série p-adica).
  • A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{p}} (série p) converge se e somente se p>1.
  • Aplicando isso ao nosso caso com p=2\alpha, a soma \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2\alpha}} converge se e somente se 2\alpha>1 \quad\Longleftrightarrow\quad \alpha>\tfrac{1}{2}.
  • Portanto:
    • Se \alpha>\tfrac{1}{2}, a soma de quadrados converge e Parseval não impede que exista uma função f\in L^{2} com esses coeficientes (ou seja, Parseval não dá uma contradição).
    • Se \alpha\leq \tfrac{1}{2}, a soma de quadrados diverge; pela identidade de Parseval isso impede a existência de qualquer função f\in L^{2}(-\pi,\pi) cuja série de Fourier tenha b_n=1/n^{\alpha}.

Passo 5

Concluir a afirmação pedida e comentar sobre a formulação original com \alpha\le 2.
  • Conclusão direta (usando Parseval): para \alpha\leq \tfrac{1}{2} a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\sin(nx)}{n^{\alpha}} não pode ser a série de Fourier de nenhuma função f\in L^{2}(-\pi,\pi), porque seus coeficientes não são quadrado-somáveis e isso contradiz a identidade de Parseval.
  • Observação sobre o enunciado: se a intenção era afirmar algo para \alpha\leq 2, isso está provavelmente errado ou mal formulado — Parseval só dá a restrição que encontramos (limite \alpha>\tfrac{1}{2} para possibilitar coeficientes em \ell^{2}). Para valores \tfrac{1}{2}<\alpha\le 2 a soma \sum 1/n^{2\alpha} converge, então Parseval não impede que a série seja série de Fourier; outras técnicas seriam necessárias para decidir nesses casos (mas não se pode concluir a impossibilidade apenas por Parseval).
Força aí — se quiser eu prosseguo e mostro exemplos: (i) um motivo construtivo para \alpha>\tfrac{1}{2} onde a série corresponde a uma função em L^{2}, ou (ii) analisar o caso extremo com \alpha=\tfrac{1}{2} com mais detalhes.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^{\alpha}} não pode ser série de Fourier de nenhuma função f\in L^{2}(-\pi,\pi) quando \alpha\leq \tfrac{1}{2}, porque então
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2\alpha}}=\infty,
o que contradiz a identidade de Parseval.

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