Use a identidade de Parseval para justificar que, para
,
não é série de Fourier de nenhuma funçāo
.
Passo 1
Primeiro vou deixar claro o que o enunciado diz e uma correção necessária que vou assumir antes de começar a resolver (sem pedir nada a você).
- O enunciado literal traz a série
mas também fala em um parâmetro e pede uma conclusão para “ ”. Isso é incompatível: o expoente não é um parâmetro . - Para que a questão faça sentido, interpreto que a série correta é
com parâmetro . Vou trabalhar com essa forma. Se, por acaso, o enunciado original realmente queria , avise — nesse caso a série converge super-rapidinho e a conclusão pedida não se aplica da mesma forma.
O que o problema pede (na interpretação que vou usar):
- Usar a identidade de Parseval para justificar que, sob uma certa condição sobre
, a série não pode ser a série de Fourier de nenhuma função .
Informações dadas (que vou usar):
- A série tem termos de seno apenas, logo, se fosse uma série de Fourier usual em
com período , ela corresponderia a coeficientes e .
Passo 2
Vou lembrar a identidade de Parseval (versão para séries trigonométricas reais) e explicar exatamente o que ela exige.
- Teorema de Parseval (forma útil aqui). Se
é uma função -periódica em e tem a série de Fourier então vale a identidade de Parseval - Interpretação prática: os coeficientes
têm que ser quadrado-somáveis, isto é sempre que . Se essa soma diverge, não existe cuja série de Fourier tenha esses coeficientes.
Vou usar exatamente essa condição: Parseval dá uma condição necessária (quadrado-somabilidade dos coeficientes) para que uma sequência seja sequência de coeficientes de Fourier de alguma função em
.
Passo 3
Identificar os coeficientes da série dada e escrever a soma de quadrados que Parseval exige convergir.
- A série considerada é
Comparando com a forma geral da série de Fourier, isso corresponde a e para . - A condição de Parseval exige então que
seja finita para que exista com esses coeficientes.
Passo 4
Estudar a série
: critério de convergência (série
-adica).
- A série
(série ) converge se e somente se . - Aplicando isso ao nosso caso com
, a soma converge se e somente se - Portanto:
- Se
, a soma de quadrados converge e Parseval não impede que exista uma função com esses coeficientes (ou seja, Parseval não dá uma contradição). - Se
, a soma de quadrados diverge; pela identidade de Parseval isso impede a existência de qualquer função cuja série de Fourier tenha .
- Se
Passo 5
Concluir a afirmação pedida e comentar sobre a formulação original com
.
- Conclusão direta (usando Parseval): para
a série não pode ser a série de Fourier de nenhuma função , porque seus coeficientes não são quadrado-somáveis e isso contradiz a identidade de Parseval. - Observação sobre o enunciado: se a intenção era afirmar algo para
, isso está provavelmente errado ou mal formulado — Parseval só dá a restrição que encontramos (limite para possibilitar coeficientes em ). Para valores a soma converge, então Parseval não impede que a série seja série de Fourier; outras técnicas seriam necessárias para decidir nesses casos (mas não se pode concluir a impossibilidade apenas por Parseval).
Força aí — se quiser eu prosseguo e mostro exemplos: (i) um motivo construtivo para
onde a série corresponde a uma função em
, ou (ii) analisar o caso extremo com
com mais detalhes.
Resposta
A série
não pode ser série de Fourier de nenhuma função
quando
, porque então
,
o que contradiz a identidade de Parseval.
o que contradiz a identidade de Parseval.