Usando os testes de comparação, determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n}-1};

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{n}-1}
usando testes de comparação. Vamos comparar seu termo geral com uma sequência mais simples cuja soma diverge.

Passo 2

Observe que, para todo inteiro n\ge2, vale
2^n \ge n+1 > n.
Tomando a potência 1/n em cada membro, obtemos
n^{1/n} < 2 \quad\Longrightarrow\quad n^{1/n}-1 < 1.

Passo 3

Da desigualdade anterior segue
\frac{1}{\sqrt[n]{n}-1} > \frac{1}{1} = 1,
ou seja, para todo n\ge2 o termo
\displaystyle a_n=\frac{1}{\sqrt[n]{n}-1} satisfaz a_n>1.

Passo 4

A série
\sum_{n=2}^{\infty}1
é claramente divergente (os termos não tendem a zero e somam “infinitas vezes 1”). Pelo teste de comparação, como
\,a_n>1 e \sum1 diverge, concluímos que
\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}a_n também diverge.

Resposta

A série diverge.

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