Usando os testes de comparação, determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{4^{n}+5};

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{4^{n}+5}
usando testes de comparação. Vamos usar o teste de comparação por limite.

Passo 2

Definimos
a_n = \frac{3}{4^{n}+5} \quad\text{e}\quad b_n = \frac{1}{4^n}.
A série \sum b_n é geométrica de razão 1/4, portanto converge, pois \lvert 1/4\rvert<1.

Passo 3

Calculamos o limite do quociente dos termos:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{3}{4^n+5}}{\frac{1}{4^n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{3\cdot4^n}{4^n+5} =3.
Como esse limite é um número finito e positivo, o teste de comparação por limite garante que \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{4^{n}+5} converge.

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