Usando os testes de comparação, determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n(n+1)(n+2)}};

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n(n+1)(n+2)}}.
O conteúdo usado será o teste da comparação, em particular o teste da comparação pelo limite (limit comparison test). Vamos comparar com a série harmônica \sum 1/n.

Passo 2

Observamos que, para n grande,
n(n+1)(n+2) = n^3\bigl(1+\tfrac1n\bigr)\bigl(1+\tfrac2n\bigr),
portanto
\sqrt[3]{n(n+1)(n+2)} = n\,(1+\tfrac1n)^{1/3}(1+\tfrac2n)^{1/3}.
Isso sugere que
\frac{1}{\sqrt[3]{n(n+1)(n+2)}}\sim \frac{1}{n}.

Passo 3

Defina
a_n = \frac{1}{\sqrt[3]{n(n+1)(n+2)}}, \qquad b_n = \frac{1}{n}.
Calculamos o limite da razão:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[3]{n(n+1)(n+2)}} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{(1+\tfrac1n)^{1/3}(1+\tfrac2n)^{1/3}} = 1.
Como esse limite é um número finito e não nulo, o teste do limite de comparação diz que \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento (convergem ou divergem juntos).

Passo 4

Sabemos que a série harmônica
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}
diverge. Pelo resultado do passo anterior, a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n(n+1)(n+2)}}
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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