Usando os testes de comparação, determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n+1) 2^{n}};

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n+1)\,2^{n}}
usando testes de comparação. Vamos usar comparação direta com uma série mais simples cuja convergência a gente já conhece.

Passo 2

Observamos que, para todo n\ge1,
0 < \frac{n}{(n+1)\,2^{n}} < \frac{n}{2^{n}}.
Isso vale porque (n+1)>n implica \tfrac1{n+1}<\tfrac1n.

Passo 3

Agora, verificamos a convergência da série de termos maiores
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}}.
Aplicando o teste da razão a a_n=\tfrac{n}{2^n}, temos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n+1}{2^{n+1}}}{\frac{n}{2^n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n}=\frac12<1.
Logo, \sum n/2^n converge.

Passo 4

Como 0<\frac{n}{(n+1)\,2^{n}}<\frac{n}{2^{n}} e \sum n/2^n converge, pelo teste da comparação direta concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n+1)\,2^{n}}
também converge.

Resposta

A série converge.

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