Usando a transformada de Laplace, resolva os PVIs abaixo:
e em que
Passo 1
O problema pede resolver o problema de valor inicial
onde a força
Informações relevantes fornecidas:
A tarefa é encontrar
usando a transformada de Laplace. Não vou pedir nada a você — vou resolver passo a passo.]
Passo 2
Primeiro vamos escrever
usando a função degrau unitário
(Heaviside). Tome
. Podemos escrever
porque para
o termo com
some e
; para
temos
. Essa representação facilita aplicar a segunda propriedade de deslocamento da Laplace.
Passo 3
Agora aplicamos a transformada de Laplace à equação. Lembrando que
onde
. Com as condições iniciais
, temos
Agora a transformada de
. Usando linearidade,
Sabemos
. Para o termo com degrau usamos a forma conveniente do teorema do deslocamento: se escrevemos
então
Queremos pôr
nesta forma: note que
, portanto podemos definir
e assim
Calculemos
. Usando linearidade e as fórmulas básicas,
e
. Portanto
Juntando tudo,
Passo 4
Voltando à equação transformada:
Logo
Substituindo
:
Dividindo por
,
Repare que
Portanto a expressão simplifica muito:
Assim, em termos de inversa de Laplace teremos
mais um termo retardado (multiplicado por
).
Passo 5
Precisamos agora encontrar a transformada inversa da parte sem o fator
, ou seja
Vamos recordar e obter transformadas inversas úteis (aqui explico como deduzir; é útil para a prova):
- Usando a propriedade
, temos
Logo
- Para
podemos combinar transformadas: calculemos a transformada inversa direta: testar a função . Usando transformadas básicas e a propriedade do produto por dá-se:
Portanto
- Para
fazemos uma fração parcial:
portanto
Usando essas inversas, escrevemos a função temporal correspondente a
:
Lembre que
tem o termo multiplicado por
, então, pela segunda propriedade de deslocamento,
Passo 6
Portanto a solução em tempo é
ou seja
Substituíndo
(lembrando que
) temos, antes de simplificar,
Agora use
. Como
e
, isso simplifica bastante:
Logo para
(isto é,
),
Os
e
cancelam, ficando
Com
podemos reescrever usando identidades trigonométricas:
e
. Assim uma forma muito limpa é
É bom checar a continuidade em
: para
temos
; para
na expressão de cima obtemos
. Ótimo — contínuo.]