Usando transformada de Laplace, resolva os seguintes problemas de valor inicial (P.V.I.)
f)
Resp.
f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando a Transformada de Laplace. O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais
e
. Para resolver isso, vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais transformando-as em equações algébricas mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Aplicando isso na nossa equação:
Passo 3
Substituindo as transformadas das derivadas:
Simplificando isso:
Passo 4
Agora, vamos juntar os termos que envolvem
e os termos constantes:
Isolando
:
Passo 5
Vamos fatorar o denominador para facilitar a inversão da Transformada de Laplace:
Então, a expressão para
fica:
Passo 6
Agora, vamos decompor em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resolvendo para
e
:
Para
:
Para
:
Então:
Passo 7
Finalmente, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace: