Usando uma translação de eixos coordenados,
(a) Simplifique a equação x^{2}+y^{2}+6 x-2 y+6=0 indicando qual a nova origem e quais são as equações de transformação;
(b) Utilizando a translação do item anterior, determine as coordenadas do ponto P_{x y}(1,-2) em relação ao sistema \bar{O} \overline{x y} e as coordenadas de Q_{\overline{x y}}(2,1) no sistema O x y.

Passo 1

O enunciado pede simplificar a equação
x^{2}+y^{2}+6x-2y+6=0
via translação de eixos, indicando a nova origem e as fórmulas de transformação, e em seguida usar essa translação para converter coordenadas de pontos. O conteúdo é completar quadrados para identificar o centro de uma circunferência e mudar de sistema de coordenadas.

Passo 2

Agrupando os termos em x e em y e completando quadrados:
x^{2}+6x = (x+3)^{2} - 9, \quad y^{2}-2y = (y-1)^{2} - 1.
Substituindo em \;x^{2}+y^{2}+6x-2y+6=0 vem
(x+3)^{2}-9 + (y-1)^{2}-1 +6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x+3)^{2} + (y-1)^{2} -4 =0
\Longrightarrow\quad (x+3)^{2} + (y-1)^{2} = 4.

Passo 3

Da forma (x+3)^{2}+(y-1)^{2}=4 vemos que o centro da circunferência é C(-3,1).
Definimos o sistema \bar{O}\bar{x}\bar{y} com origem em C, usando
\bar{x} = x + 3, \quad \bar{y} = y - 1,
ou inversamente
x = \bar{x} - 3, \quad y = \bar{y} + 1.
No novo sistema a equação fica
\bar{x}^{2} + \bar{y}^{2} = 4.

Passo 4

Para o ponto P_{xy}(1,-2) no sistema original, suas coordenadas em \bar{O}\bar{x}\bar{y} são
\bar{x}_{P} = 1 + 3 = 4, \quad \bar{y}_{P} = -2 - 1 = -3.

Passo 5

Para o ponto Q_{\bar{x}\bar{y}}(2,1) no sistema traduzido, suas coordenadas no sistema original Oxy são
x_{Q} = 2 - 3 = -1, \quad y_{Q} = 1 + 1 = 2.

Resposta

(a) A nova origem é C(-3,1). As transformações são
\bar{x} = x + 3, \quad \bar{y} = y - 1;
ou inversamente x = \bar{x}-3,\;y=\bar{y}+1. A equação simplificada é
\bar{x}^{2} + \bar{y}^{2} = 4.
(b) Para P_{xy}(1,-2), tem-se P_{\bar{x}\bar{y}}(4,-3).
Para Q_{\bar{x}\bar{y}}(2,1), tem-se Q_{xy}(-1,2).

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