Por meio de uma translação dos eixos coordenados, transforme as equações dadas para a nova origem indicada.
x^{2}-4 x+y^{2}-6 y-12=0, \bar{O}=(1,1)

Passo 1

O enunciado dá a curva
x^{2}-4x+y^{2}-6y-12=0
e pede a sua forma na nova origem \bar O=(1,1). O conteúdo aqui é mudança de variáveis por translação de eixos: vamos definir coordenadas (X,Y) cuja origem corresponde ao ponto (1,1) do sistema (x,y).

Passo 2

Em translação de eixos, se \bar O=(1,1) vira a nova origem, definimos
X = x - 1, \quad Y = y - 1,
ou seja
x = X + 1, \quad y = Y + 1.

Passo 3

Substituindo x = X+1 e y = Y+1 em
x^{2}-4x+y^{2}-6y-12=0
obtém-se
(X+1)^{2}-4(X+1)+(Y+1)^{2}-6(Y+1)-12=0.
Expandindo e agrupando termos:
X^{2}+2X+1-4X-4+Y^{2}+2Y+1-6Y-6-12=0
X^{2}+Y^{2}-2X-4Y-20=0.

Resposta

X^{2}+Y^{2}-2X-4Y-20=0.

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