Determine a translação dos eixos coordenados (nova origem e equações de transformação) que levam à forma canônica as seguintes equações:
9 x^{2}-4 y^{2}-54 x+8 y+113=0

Passo 1

O enunciado apresenta a cônica
9x^{2}-4y^{2}-54x+8y+113=0
e pede a translação dos eixos que leva esta equação à forma canônica. O conteúdo aqui é identificação do centro da cônica (solução de \partial f/\partial x=0, \partial f/\partial y=0) e substituição x = X + h, y = Y + k para completar quadrados e obter a forma canônica.

Passo 2

Para encontrar o centro (h,k) resolvemos
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(9x^{2}-4y^{2}-54x+8y+113\bigr)=0, \quad \frac{\partial}{\partial y}\bigl(9x^{2}-4y^{2}-54x+8y+113\bigr)=0.
Calculando:
\frac{\partial}{\partial x}=18x-54=0\implies x=3,
\frac{\partial}{\partial y}=-8y+8=0\implies y=1.
Logo o centro é (h,k)=(3,1).

Passo 3

Definimos a translação de eixos
x = X + 3, \quad y = Y + 1.
Isto coloca o novo centro na origem dos eixos X,Y.

Passo 4

Substituindo em
9x^{2}-4y^{2}-54x+8y+113=0
temos
9(X+3)^{2}-4(Y+1)^{2}-54(X+3)+8(Y+1)+113=0.
Expandindo e simplificando:
9(X^{2}+6X+9)-4(Y^{2}+2Y+1)-54X-162+8Y+8+113=0,
9X^{2}+54X+81-4Y^{2}-8Y-4-54X-162+8Y+8+113=0,
9X^{2}-4Y^{2}+(81-4-162+8+113)=0,
9X^{2}-4Y^{2}+36=0.

Passo 5

Colocando em forma canônica, isolamos os quadrados e dividimos por -36 (invertendo os sinais para obter a forma padrão de hipérbole):
9X^{2}-4Y^{2}=-36 \quad\Longleftrightarrow\quad 4Y^{2}-9X^{2}=36 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{Y^{2}}{9}-\frac{X^{2}}{4}=1.

Resposta

Nova origem: (h,k)=(3,1)
Transformação:
x = X + 3, \quad y = Y + 1.
Forma canônica:
\frac{Y^{2}}{9}-\frac{X^{2}}{4}=1.

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