Sem usar calculadora, determine
\ln \left(e^{5}\right)+\ln \left(e^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede que se determine o valor de \ln\left(e^{5}\right)+\ln\left(e^{2}\right). As informações dadas são exatamente as duas expressões \ln\left(e^{5}\right) e \ln\left(e^{2}\right). Não há outras condições nem números adicionais.

Passo 2

Vamos recordar uma propriedade fundamental entre exponencial e logaritmo natural (essa é a parte didática): a função exponencial \exp(x)=e^{x} e o logaritmo natural \ln(x) são funções inversas uma da outra. Isso significa, em palavras simples, que aplicar uma e em seguida a outra devolve o número original (desde que o argumento seja válido). Em fórmulas:
\exp(\ln y)=y\quad\text{para todo }y>0,
e, por consequência,
\ln\!\big(e^{x}\big)=x\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Explicando por que isso vale: se y=e^{x} então y>0 e \ln(y) é o número cuja exponenciação dá y; como e^{x}=y, esse número é precisamente x. Por isso \ln(e^{x})=x.

Passo 3

Aplicando a propriedade \ln\!\big(e^{x}\big)=x aos termos do problema:
\ln\!\big(e^{5}\big)=5,
\ln\!\big(e^{2}\big)=2.
Aqui basta reconhecer que cada logaritmo “cancela” a exponencial.

Passo 4

Somando os dois resultados:
5+2=7.
Alternativa (útil para a prova): usar a propriedade dos logaritmos \ln a+\ln b=\ln(ab). Então
\ln\!\big(e^{5}\big)+\ln\!\big(e^{2}\big)=\ln\!\big(e^{5}\cdot e^{2}\big)=\ln\!\big(e^{5+2}\big)=\ln\!\big(e^{7}\big)=7,
chegando ao mesmo resultado.

Resposta

7

Exercícios relacionados