Sem usar calculadora, determine
Passo 1
O enunciado pede para calcular, sem usar calculadora, a expressão
Informações dadas:
- A base do logaritmo é
. - Os argumentos são
e . - A operação pedida é a diferença entre dois logaritmos com a mesma base.
Passo 2
Usar a propriedade básica de logaritmos que transforma diferença em quociente. Regra:
Explicação e prova curta: se
então
; se
então
. Então
e como
, segue que
. É a mesma ideia que subtrair expoentes corresponde a dividir potências.
Passo 3
Aplicando essa propriedade ao problema:
Aqui usei explicitamente que
.
Passo 4
Agora observe que tanto a base quanto o argumento podem ser expressos em potências de
:
Há uma propriedade útil de mudança de base quando a base é uma potência: para
,
, e
,
Explicação e prova curta: se
então
, ou seja
. Assim
, logo
.
Passo 5
Aplicando essa propriedade com
e
:
Calcule cada parte:
porque o logaritmo de uma potência com mesma base é o expoente; e
. Portanto
Passo 6
Verificação direta (intuitiva): procurar
tal que
. Escrevendo em potências de
:
confirmando o resultado anterior.
Resposta
4