Sem usar calculadora, determine
\log _{\sqrt{3}}(18)-\log _{\sqrt{3}}(2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular, sem usar calculadora, a expressão
\log_{\sqrt{3}}(18)-\log_{\sqrt{3}}(2).
Informações dadas:
  • A base do logaritmo é \sqrt{3}.
  • Os argumentos são 18 e 2.
  • A operação pedida é a diferença entre dois logaritmos com a mesma base.

Passo 2

Usar a propriedade básica de logaritmos que transforma diferença em quociente. Regra:
\log_a(x)-\log_a(y)=\log_a\!\left(\frac{x}{y}\right).
Explicação e prova curta: se \log_a(x)=u então a^u=x; se \log_a(y)=v então a^v=y. Então
\log_a(x)-\log_a(y)=u-v,
e como a^{u-v}=\dfrac{a^u}{a^v}=\dfrac{x}{y}, segue que u-v=\log_a\!\left(\dfrac{x}{y}\right). É a mesma ideia que subtrair expoentes corresponde a dividir potências.

Passo 3

Aplicando essa propriedade ao problema:
\log_{\sqrt{3}}(18)-\log_{\sqrt{3}}(2)=\log_{\sqrt{3}}\!\left(\frac{18}{2}\right)=\log_{\sqrt{3}}(9).
Aqui usei explicitamente que 18/2=9.

Passo 4

Agora observe que tanto a base quanto o argumento podem ser expressos em potências de 3:
\sqrt{3}=3^{1/2},\qquad 9=3^{2}.
Há uma propriedade útil de mudança de base quando a base é uma potência: para a>0, a\neq1, e k\neq0,
\log_{a^{k}}(b)=\frac{1}{k}\,\log_{a}(b).
Explicação e prova curta: se \log_{a^{k}}(b)=t então (a^{k})^{t}=b, ou seja a^{kt}=b. Assim kt=\log_a(b), logo t=(1/k)\log_a(b).

Passo 5

Aplicando essa propriedade com a=3 e k=1/2:
\log_{3^{1/2}}(3^{2})=\frac{1}{1/2}\,\log_{3}(3^{2}).
Calcule cada parte: \log_{3}(3^{2})=2 porque o logaritmo de uma potência com mesma base é o expoente; e \dfrac{1}{1/2}=2. Portanto
\log_{3^{1/2}}(3^{2})=2\cdot 2=4.

Passo 6

Verificação direta (intuitiva): procurar x tal que (\sqrt{3})^{x}=9. Escrevendo em potências de 3:
(3^{1/2})^{x}=3^{2}\quad\Rightarrow\quad 3^{x/2}=3^{2}\quad\Rightarrow\quad \frac{x}{2}=2\quad\Rightarrow\quad x=4,
confirmando o resultado anterior.

Resposta

4

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