Sem usar uma calculadora, determine
2^{\log _{2}(5)}

Passo 1

O enunciado pede para determinar 2^{\log_{2}(5)}.
Informações dadas: a base da potência é 2 e o expoente é o logaritmo de 5 na mesma base 2, ou seja \log_{2}(5).
Pergunta: calcular o valor numérico de 2^{\log_{2}(5)} sem calculadora.

Passo 2

Entendendo o que significa \log_{2}(5).
Por definição de logaritmo, \log_{2}(5) é o número (chame de y) tal que
2^{y}=5.
Isso é a definição básica: \log_{a}(b)=y significa a^{y}=b, válida para a>0, a\neq1 e b>0.

Passo 3

Use a definição direta para avaliar a expressão. Seja
y=\log_{2}(5).
Então, por definição, 2^{y}=5. Agora substituímos y no que queremos calcular:
2^{\log_{2}(5)}=2^{y}=5.

Passo 4

Explicação geral da propriedade usada (para você decorar e usar em prova): para qualquer a>0, a\neq1, e qualquer x>0,
a^{\log_{a}(x)}=x.
Prova curta: escreva y=\log_{a}(x). Então a^{y}=x. Substituindo y obtém-se a^{\log_{a}(x)}=x. É a inversão entre exponenciação e logaritmo — um desfaz o outro.

Passo 5

Outro jeitinho (opcional, só para reforçar): usar log natural. Como \log_{2}(5)=\dfrac{\ln 5}{\ln 2}, temos
2^{\log_{2}(5)}=2^{\frac{\ln 5}{\ln 2}}=\left(e^{\ln 2}\right)^{\frac{\ln 5}{\ln 2}}=e^{\ln 5}=5,
chegando ao mesmo resultado.

Resposta

5

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