Sem usar calculadora, determine
\log (5)+\log (20)

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor de \log(5)+\log(20).
Observações importantes retiradas do enunciado: o símbolo \log não teve a base explicitada. Vou assumir a convenção mais comum em exercícios elementares (e em muitas provas): \log é o logaritmo decimal, isto é, base 10. Se a base fosse outra (por exemplo e), o procedimento algébrico é o mesmo, mas o valor numérico final difere por um fator constante — vou comentar isso no final.

Passo 2

Lembra da propriedade básica dos logaritmos (produtividade)? Ela diz que, para qualquer base fixa e para a>0, b>0,
\log(a)+\log(b)=\log(a\cdot b).
Vou justificar rapidamente por que isso é verdade: se \log(a)=x e \log(b)=y, então por definição da função logaritmo temos a=10^{x} e b=10^{y} (aqui usei base 10, mas a argumentação vale para qualquer base). Multiplicando, a\cdot b=10^{x}10^{y}=10^{x+y}. Tomando logaritmo dos dois lados resulta \log(a\cdot b)=x+y=\log(a)+\log(b). Pronto — propriedade comprovada e pronta para usar.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao caso dado:
\log(5)+\log(20)=\log\bigl(5\cdot 20\bigr).

Passo 4

Calcule o produto dentro do logaritmo:
5\cdot 20=100.
Logo
\log(5)+\log(20)=\log(100).

Passo 5

Use agora a propriedade do logaritmo de potência: para qualquer a>0 e qualquer k,
\log\bigl(a^{k}\bigr)=k\,\log(a).
Como 100=10^{2}, temos
\log(100)=\log\bigl(10^{2}\bigr)=2\,\log(10).

Passo 6

Assumindo que \log é o logaritmo decimal (base 10), vale \log(10)=1. Portanto
2\,\log(10)=2\cdot 1=2.
Conclusão: \log(5)+\log(20)=2 (na base 10).

Passo 7

Comentário final rápido: se a notação \log tivesse significado natural (base e), o resultado algébrico intermediário seria \log(5)+\log(20)=\log(100)=2\log(10), ou seja 2\ln(10) — é a mesma manipulação, só que não dá um número tão simples quanto 2 nesse caso.

Resposta

2

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