Por que, ao se usar a Eq. 29 para determinar o momento de inércia, foi excluída a hipótese de o eixo passar pelo centro de massa? Esta equação se aplica a esse eixo? Como se deve proceder para, usando um pêndulo físico, determinar
em relação a tal eixo?
Passo 1
O enunciado pergunta por que, ao usar a Eq. 29 para determinar o momento de inércia, foi dispensada a hipótese de o eixo passar pelo centro de massa; se a fórmula ainda vale nesse caso; e como, usando um pêndulo físico, determinar
em relação ao eixo que passa pelo centro de massa. O conteúdo envolve pêndulo físico, equação do período em pequenos deslocamentos e o Teorema dos Eixos Paralelos.
Passo 2
Vamos lembrar a dedução da Eq. 29. Para um corpo rígido de massa
suspenso por um eixo em
, distante
do seu centro de massa
, o torque restaurador para um pequeno ângulo
é
Pela equação de movimento rotacional,
que é exatamente a equação de um oscilador harmônico de frequência angular
Daí vem o período
Note que em nenhuma etapa se assumiu que o eixo passa por
; ao contrário, é essencial que
para que haja torque restaurador.
Passo 3
Se o eixo passasse exatamente pelo centro de massa, teríamos
e o torque
seria nulo. Não há força de retorno e o corpo não oscilaria em torno da posição de equilíbrio — o período ficaria indefinido. Por isso a Eq. 29 não se aplica para
: faltaria o “braço” para o peso gerar torque.
Passo 4
Para usar um pêndulo físico e determinar
em relação ao eixo que passa por
, procede-se assim:
- Escolhe-se um ponto de suspensão
a uma distância conhecida de . - Mede-se o período
das pequenas oscilações. - Usa-se a Eq. 29 para obter
:
- Aplica-se o Teorema dos Eixos Paralelos (Steiner) para deslocar o eixo de
até :
Resposta
Para oscilar, o eixo não pode passar por
(é necessário
), por isso a Eq. 29 não assume nem vale para
. Ela se aplica a qualquer eixo a distância
de
. Para encontrar o momento de inércia em relação ao eixo pelo centro de massa, mede-se o período do pêndulo físico com distância
, calcula-se
e então usa-se