Por que, ao se usar a Eq. 29 para determinar o momento de inércia, foi excluída a hipótese de o eixo passar pelo centro de massa? Esta equação se aplica a esse eixo? Como se deve proceder para, usando um pêndulo físico, determinar I em relação a tal eixo?

Passo 1

O enunciado pergunta por que, ao usar a Eq. 29 para determinar o momento de inércia, foi dispensada a hipótese de o eixo passar pelo centro de massa; se a fórmula ainda vale nesse caso; e como, usando um pêndulo físico, determinar I em relação ao eixo que passa pelo centro de massa. O conteúdo envolve pêndulo físico, equação do período em pequenos deslocamentos e o Teorema dos Eixos Paralelos.

Passo 2

Vamos lembrar a dedução da Eq. 29. Para um corpo rígido de massa m suspenso por um eixo em O, distante d do seu centro de massa G, o torque restaurador para um pequeno ângulo \theta é
\tau = -m\,g\,d\,\theta.
Pela equação de movimento rotacional,
I_O\,\ddot\theta = \tau = -m\,g\,d\,\theta,
que é exatamente a equação de um oscilador harmônico de frequência angular
\omega = \sqrt{\frac{m\,g\,d}{I_O}}.
Daí vem o período
T = 2\pi\,\sqrt{\frac{I_O}{m\,g\,d}}.
Note que em nenhuma etapa se assumiu que o eixo passa por G; ao contrário, é essencial que d\neq0 para que haja torque restaurador.

Passo 3

Se o eixo passasse exatamente pelo centro de massa, teríamos d=0 e o torque \tau=-m\,g\,d\,\theta seria nulo. Não há força de retorno e o corpo não oscilaria em torno da posição de equilíbrio — o período ficaria indefinido. Por isso a Eq. 29 não se aplica para d=0: faltaria o “braço” para o peso gerar torque.

Passo 4

Para usar um pêndulo físico e determinar I em relação ao eixo que passa por G, procede-se assim:
  1. Escolhe-se um ponto de suspensão O a uma distância conhecida d de G.
  2. Mede-se o período T das pequenas oscilações.
  3. Usa-se a Eq. 29 para obter I_O:
I_O = \frac{m\,g\,d\,T^2}{4\pi^2}.
  1. Aplica-se o Teorema dos Eixos Paralelos (Steiner) para deslocar o eixo de O até G:
I_G = I_O - m\,d^2.

Resposta

Para oscilar, o eixo não pode passar por G (é necessário d\neq0), por isso a Eq. 29 não assume nem vale para d=0. Ela se aplica a qualquer eixo a distância d de G. Para encontrar o momento de inércia em relação ao eixo pelo centro de massa, mede-se o período do pêndulo físico com distância d, calcula-se
I_O = \frac{m\,g\,d\,T^2}{4\pi^2}
e então usa-se
I_G = I_O - m\,d^2.

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