Usar integração de contorno para verificar cada uma das seguintes integrais:
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x \sin a x}{x^{4}+4} d x=\frac{\pi}{2} e^{-a} \sin a;

Passo 1

O enunciado pede para avaliar, via integração de contorno, a integral
\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x\sin(ax)}{x^{4}+4}\,dx =\frac{\pi}{2}e^{-a}\sin a,
supondo a>0. O conteúdo principal é aplicar o Teorema dos Resíduos em
f(z)=\frac{z\,e^{i a z}}{z^{4}+4},
fechando o contorno no semicírculo superior e usando o lema de Jordan para a parte exponencial.

Passo 2

Considere o contorno formado pela reta real de -R a R mais o semicírculo C_R de raio R no plano superior. Pelo lema de Jordan, como a>0,
\lim_{R\to\infty}\int_{C_R}f(z)\,dz=0,
de modo que, pelo Teorema dos Resíduos,
\int_{-R}^{R}f(x)\,dx \;\xrightarrow[R\to\infty]{}\; 2\pi i\sum_{\Im z_k>0}\Res\bigl(f,z_k\bigr).

Passo 3

As singularidades de f são as raízes de z^{4}+4=0, ou seja
z^{4}=-4=4e^{i\pi} \;\Longrightarrow\; z_k=\sqrt{2}\,e^{i\bigl(\frac{\pi}{4}+\tfrac{k\pi}{2}\bigr)}, \quad k=0,1,2,3.
No semiplano superior temos
z_{1}=\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}=1+i, \quad z_{2}=\sqrt{2}\,e^{i3\pi/4}=-1+i.

Passo 4

Cada polo é simples e
\Res\bigl(f,z_{0}\bigr) =\lim_{z\to z_{0}}(z-z_{0})\frac{z\,e^{iaz}}{z^{4}+4} =\frac{z_{0}\,e^{ia z_{0}}}{4z_{0}^{3}} =\frac{e^{ia z_{0}}}{4z_{0}^{2}}.
Para z_{1}=1+i e z_{2}=-1+i temos
z_{1}^{2}=2i, \quad z_{2}^{2}=-2i, \quad e^{ia z_{1}}=e^{i a(1+i)}=e^{-a}e^{i a}, \quad e^{ia z_{2}}=e^{i a(-1+i)}=e^{-a}e^{-i a}.
Logo
\Res(f,z_{1}) =\frac{e^{-a}e^{i a}}{4\cdot2i} =\frac{e^{-a}e^{i a}}{8i}, \quad \Res(f,z_{2}) =\frac{e^{-a}e^{-i a}}{4\cdot(-2i)} =-\frac{e^{-a}e^{-i a}}{8i}.

Passo 5

Somando as duas contribuições:
\sum\Res(f,z_k) =\frac{e^{-a}}{8i}\bigl(e^{i a}-e^{-i a}\bigr) =\frac{e^{-a}}{8i}\cdot2i\sin a =\frac{e^{-a}\sin a}{4}.
Pelo Teorema dos Resíduos,
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x\,e^{i a x}}{x^{4}+4}\,dx =2\pi i\cdot\frac{e^{-a}\sin a}{4} =\frac{\pi i}{2}\,e^{-a}\sin a.

Passo 6

Chamando
I=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x\,e^{i a x}}{x^{4}+4}\,dx,
temos \Im(I)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x\sin(ax)}{x^{4}+4}\,dx. Como I=\tfrac{\pi i}{2}e^{-a}\sin a, segue
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x\sin(ax)}{x^{4}+4}\,dx =\Im(I) =\frac{\pi}{2}e^{-a}\sin a.

Resposta

\boxed{ \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x\sin(ax)}{x^{4}+4}\,dx =\frac{\pi}{2}e^{-a}\sin a }.

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