Determinar os pólos e os respectivos resíduos de cada função.
\quad \operatorname{cotg} z

Passo 1

Estamos com a função \cot(z), que é um quociente de funções analíticas:
\cot(z)=\frac{\cos(z)}{\sin(z)}.
O objetivo é achar todos os polos (singularidades isoladas) de \cot(z) e, para cada polo, calcular o respectivo resíduo. Para isso, vamos usar que os polos vêm dos zeros de \sin(z) e que, em cada polo simples z_0,
\Res\bigl(\cot(z),z_0\bigr) =\lim_{z\to z_0}(z-z_0)\cot(z).

Passo 2

Primeiro identificamos onde \sin(z)=0. Sabemos que
\sin(z)=0\quad\Longleftrightarrow\quad z=k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Logo, \cot(z) tem polos simples em
z_k = k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Para ver que cada polo em z_k é simples, note que \sin'(z)=\cos(z) e em z_k;
\cos(z_k)=\cos(k\pi)=(-1)^k\neq 0.
Como o zero de \sin(z) em z_k é simples, o polo de \cot(z) também é simples.

Passo 4

Agora calculamos o resíduo em z_k usando a fórmula do polo simples:
\Res\bigl(\cot(z),z_k\bigr) =\lim_{z\to z_k}(z-z_k)\frac{\cos(z)}{\sin(z)} =\frac{\cos(z_k)}{\sin'(z_k)} =\frac{(-1)^k}{(-1)^k} =1.

Resposta

Os polos de \cot(z) são
z=k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},
todos simples, e em cada um deles o resíduo vale
\Res\bigl(\cot(z),k\pi\bigr)=1.

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