Determinar os pólos e os respectivos resíduos de cada função.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para determinar os polos e os respectivos resíduos. Isso é teoria de funções meromorfas: polos surgem quando o denominador zera, e o resíduo em um polo de ordem
é dado pela fórmula de derivadas.
Passo 2
Identificamos onde o denominador se anula:
dá
. Como o fator
aparece ao quadrado, concluímos que em
há um polo de ordem 2.
Passo 3
Para um polo de ordem
em
, o resíduo é
Aqui
.
Passo 4
Calculamos primeiro o produto
:
Em seguida derivamos em relação a
:
Passo 5
Agora avaliamos o resultado em
:
Resposta
O único polo é
(de ordem 2),
e o resíduo associado é
e o resíduo associado é