Determinar os pólos e os respectivos resíduos de cada função.
\frac{z e^{z t}}{(z-3)^{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(z)=\frac{z\,e^{z t}}{(z-3)^{2}}
e pede para determinar os polos e os respectivos resíduos. Isso é teoria de funções meromorfas: polos surgem quando o denominador zera, e o resíduo em um polo de ordem m é dado pela fórmula de derivadas.

Passo 2

Identificamos onde o denominador se anula: z-3=0 z=3. Como o fator (z-3) aparece ao quadrado, concluímos que em z=3 há um polo de ordem 2.

Passo 3

Para um polo de ordem 2 em z_{0}, o resíduo é
\mathrm{Res}\bigl(f,z_{0}\bigr) =\lim_{z\to z_{0}}\frac{1}{(2-1)!}\,\frac{d}{dz}\Bigl[(z-z_{0})^{2}f(z)\Bigr] =\lim_{z\to z_{0}}\frac{d}{dz}\Bigl[(z-z_{0})^{2}f(z)\Bigr].
Aqui z_{0}=3.

Passo 4

Calculamos primeiro o produto (z-3)^{2}f(z):
(z-3)^{2}f(z) = z\,e^{z t}.
Em seguida derivamos em relação a z:
\frac{d}{dz}\bigl(z\,e^{z t}\bigr) = e^{z t} + z\,t\,e^{z t} = e^{z t}\bigl(1 + z\,t\bigr).

Passo 5

Agora avaliamos o resultado em z=3:
\mathrm{Res}\bigl(f,3\bigr) = e^{3t}\bigl(1 + 3t\bigr).

Resposta

O único polo é \displaystyle z=3 (de ordem 2),
e o resíduo associado é
\mathrm{Res}\bigl(f,3\bigr)=e^{3t}\bigl(1+3t\bigr).

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