Usar integração de contorno para verificar cada uma das seguintes integrais:
\int_{0}^{+\infty} \frac{x^{2} d x}{x^{4}+1}=\frac{\pi}{2 \sqrt{2}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar, usando integração de contorno no plano complexo, que
\int_{0}^{+\infty}\frac{x^{2}\,dx}{x^{4}+1}=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}.
O conteúdo principal é o Teorema dos Resíduos: escolhemos um contorno que engloba os polos de \displaystyle f(z)=\frac{z^{2}}{z^{4}+1}
no semiplano superior e aplicamos o lema de Jordan para mostrar que a contribuição do arco tende a zero.

Passo 2

Definimos o contorno C_R como a união do segmento real \bigl[-R,R\bigr] e do semicírculo de raio R no semiplano superior. Pelos polos de f(z) temos as raízes de z^4+1=0:
z_k = e^{i\frac{\pi}{4}},\; e^{i\frac{3\pi}{4}},\; e^{i\frac{5\pi}{4}},\; e^{i\frac{7\pi}{4}}.
No semiplano superior estão \displaystyle z_1=e^{i\pi/4},\;z_2=e^{i3\pi/4}.

Passo 3

Calculamos os resíduos simples de f em z_1 e z_2. Como
\Res\bigl(f,z_k\bigr) =\lim_{z\to z_k}(z-z_k)\frac{z^2}{z^4+1} =\frac{z_k^2}{4\,z_k^3} =\frac1{4\,z_k},
segue
\Res(f,z_1)=\frac1{4e^{i\pi/4}},\quad \Res(f,z_2)=\frac1{4e^{i3\pi/4}}.
Somando:
\Res(f,z_1)+\Res(f,z_2) =\frac{e^{-i\pi/4}+e^{-i3\pi/4}}{4} =\frac{-\,i}{2\sqrt{2}}.

Passo 4

Pelo Teorema dos Resíduos, para R\to\infty,
\int_{-R}^{R}f(x)\,dx +\int_{\text{arco}}f(z)\,dz =2\pi i\sum_{\substack{\text{polos}\\Im z>0}}\Res(f,z).
O lema de Jordan garante \int_{\text{arco}}f(z)\,dz\to0. Logo
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^2\,dx}{x^4+1} =2\pi i\Bigl(-\frac{i}{2\sqrt{2}}\Bigr) =\frac{\pi}{\sqrt{2}}.

Passo 5

Como a função é par,
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^2\,dx}{x^4+1} =2\int_{0}^{\infty}\frac{x^2\,dx}{x^4+1} \;\Longrightarrow\; \int_{0}^{\infty}\frac{x^2\,dx}{x^4+1} =\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{\sqrt{2}} =\frac{\pi}{2\sqrt{2}}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2\sqrt{2}}

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