Usar integração de contorno para verificar cada uma das seguintes integrais:
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{d x}{x^{6}+a^{6}} d x=\frac{2 \pi}{3 a^{5}}, a>0

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{x^{6}+a^{6}}\quad,\;a>0
usando integração de contorno e o Teorema dos Resíduos. Vamos precisar escolher um semicírculo no plano complexo (no semi-plano superior), localizar os polos de f(z)=1/(z^6+a^6), calcular suas residuais e usar que a parte no semicírculo tende a zero quando o raio vai para infinito.

Passo 2

Definimos
\displaystyle I=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{x^{6}+a^{6}}
e consideramos o contorno formado pela reta real de -R a R mais o semicírculo C_R de raio R no semi-plano \Im z\ge0. Pelo Teorema dos Resíduos,
\int_{-R}^{R}\frac{dz}{z^6+a^6}+\int_{C_R}\frac{dz}{z^6+a^6} =2\pi i\sum_{\substack{\text{polos}\\Im z>0}}\Res\Bigl(\frac1{z^6+a^6},z_k\Bigr).

Passo 3

Os polos de f(z) satisfazem z^6=-a^6, ou seja
\;z_k = a\exp\!\Bigl(i\frac{(2k+1)\pi}{6}\Bigr)\quad(k=0,1,2,3,4,5).
No semi-plano superior temos os três polos com (2k+1)\pi/6\in(0,\pi), isto é para k=0,1,2 com ângulos \pi/6,\;\pi/2 e 5\pi/6.

Passo 4

Para um polo simples z_k,
\Res\Bigl(\frac1{z^6+a^6},z_k\Bigr) =\frac{1}{\bigl.(6z^5)\bigr|_{z=z_k}} =\frac{1}{6\,z_k^5}.
Como z_k=a\,e^{i\theta_k} com \theta_k=(2k+1)\pi/6, obtemos
\Res_k=\frac{1}{6\,a^5\,e^{i5\theta_k}}.

Passo 5

Somando os três resíduos do semi-plano superior:
\sum_{k=0}^{2}\Res_k =\frac{1}{6\,a^5}\sum_{k=0}^{2}e^{-i5\theta_k} =\frac{1}{6\,a^5}\bigl(e^{-i5\pi/6}+e^{-i5\pi/2}+e^{-i25\pi/6}\bigr) =-\frac{i}{3\,a^5}.

Passo 6

Argumentamos que
\lim_{R\to\infty}\int_{C_R}\frac{dz}{z^6+a^6}=0
porque em |z|=R tem-se \bigl|z^6+a^6\bigr|\sim R^6 e o comprimento de C_R é \pi R, logo o módulo da integral desaparece como 1/R^5. Assim, tomando R\to\infty, resta
\!I=2\pi i\Bigl(-\frac{i}{3\,a^5}\Bigr)=\frac{2\pi}{3\,a^5}.

Resposta

\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{x^{6}+a^{6}} =\frac{2\pi}{3\,a^{5}}\quad(a>0).

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