Usar integração de contorno para verificar cada uma das seguintes integrais:
\int_{0}^{+\infty} \frac{d x}{\left(x^{2}+4\right)^{2}}=\frac{\pi}{32}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando integração de contorno, que
\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{(x^{2}+4)^{2}}=\frac{\pi}{32}.
O conteúdo é análise complexa: usaremos o teorema dos resíduos aplicando um contorno semicircular no semiplano superior para a função
f(z)=\frac{1}{(z^{2}+4)^{2}}.

Passo 2

Identificamos os polos de f(z). Como
z^{2}+4=(z-2i)(z+2i),
temos polos duplos em z=2i e z=-2i. Para o semiplano superior interessa apenas z_{0}=2i. Consideramos o contorno \Gamma_R composto pela reta de -R a R no eixo real mais o arco C_R de raio R no semiplano superior.

Passo 3

Pela estimativa no arco C_R, quando |z|=R, temos
|f(z)|=\frac{1}{|z^{2}+4|^{2}}\le\frac{1}{(|R|^{2}-4)^{2}}\sim\frac{1}{R^{4}},
e o comprimento de C_R é \pi R. Logo
\left|\int_{C_R}f(z)\,dz\right|\le \pi R\cdot\frac{1}{(R^{2}-4)^{2}}\to0 \quad(R\to\infty).
Assim, no limite R\to\infty,
\int_{-R}^{R}f(x)\,dx \;+\;\int_{C_R}f(z)\,dz \;=\;2\pi i\,\Res(f,2i) \quad\Longrightarrow\quad \int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{(x^{2}+4)^{2}} =2\pi i\,\Res(f,2i).

Passo 4

Calculamos a resíduo de f em z=2i. Como é polo duplo,
\Res(f,2i) =\lim_{z\to2i}\frac{d}{dz}\Bigl[(z-2i)^{2}\frac{1}{(z^{2}+4)^{2}}\Bigr] =\lim_{z\to2i}\frac{d}{dz}\frac{1}{(z+2i)^{2}} =-2\,\frac{1}{(z+2i)^{3}}\Big|_{z=2i}.
Substituindo z=2i
-2\;\frac{1}{(4i)^{3}} =-2\;\frac{1}{64\,i^{3}} =-2\;\frac{1}{64\,(-i)} =\frac{2}{64\,i} =\frac{1}{32\,i}.
Logo
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{(x^{2}+4)^{2}} =2\pi i\cdot\frac{1}{32\,i} =\frac{2\pi}{32} =\frac{\pi}{16}.

Passo 5

Como o integrando é função par, temos
\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{(x^{2}+4)^{2}} =\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{(x^{2}+4)^{2}} =\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{16} =\frac{\pi}{32}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{32}

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