Usar integração de contorno para verificar cada uma das seguintes integrais:
\int_{-\pi}^{+\pi} \frac{\cos \theta d \theta}{5+4 \cos \theta}=-\frac{\pi}{3}

Passo 1

O objetivo é verificar, por integração de contorno, que
I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos\theta}{5 + 4\cos\theta}\,d\theta = -\frac{\pi}{3}.
O método consiste em usar a substituição z = e^{i\theta}, levar a integral para o círculo unitário |z|=1 e então aplicar o Teorema dos Resíduos.

Passo 2

Fazendo z = e^{i\theta} temos \cos\theta = \tfrac12\bigl(z + z^{-1}\bigr) e d\theta = \tfrac{dz}{i\,z}. Logo
I = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\cos\theta}{5+4\cos\theta}\,d\theta = \oint_{|z|=1}\frac{\tfrac12(z+z^{-1})}{5 + 4\cdot\tfrac12(z+z^{-1})}\;\frac{dz}{i\,z}.
No denominador 5 + 2(z+z^{-1}) = \frac{2z^2 + 5z +2}{z}. Simplificando, obtemos
I = \oint_{|z|=1}\frac{z^2+1}{2\,z}\;\frac{z}{2z^2+5z+2}\;\frac{dz}{i\,z} = \oint_{|z|=1}\frac{z^2+1}{2i\,z\,(2z^2+5z+2)}\,dz.
Definimos então
f(z) = \frac{z^2+1}{2i\,z\,(2z^2+5z+2)},
de modo que I = \oint_{|z|=1}f(z)\,dz.

Passo 3

As singularidades de f(z) vêm de z=0 e das raízes de 2z^2+5z+2=0. Resolvendas,
2z^2+5z+2=0 \;\Longrightarrow\; z = \frac{-5\pm\sqrt{25-16}}{4} = \{-\tfrac12,\,-2\}.
Dos três polos simples, apenas z=0 e z=-\tfrac12 estão dentro de |z|<1.

Passo 4

Calculamos os resíduos em cada polo interno:
  1. Polo z=0:
\Res(f,0) = \lim_{z\to0}z\,f(z) = \lim_{z\to0}\frac{z^2+1}{2i\,(2z^2+5z+2)} = \frac{1}{2i\cdot2} = \frac{1}{4i}.
  1. Polo z=-\tfrac12: como é raiz simples de 2z^2+5z+2,
\Res\bigl(f,-\tfrac12\bigr) = \frac{(-\tfrac12)^2+1}{2i\,(-\tfrac12)\,\bigl(4(-\tfrac12)+5\bigr)} = \frac{\tfrac54}{2i\cdot(-\tfrac12)\cdot3} = \frac{\tfrac54}{-3i} = -\frac{5}{12i} = \frac{5i}{12}.
Somando,
\Res(f,0)+\Res\bigl(f,-\tfrac12\bigr) = \frac{1}{4i} + \frac{5i}{12} = -\frac{i}{4} + \frac{5i}{12} = \frac{i}{6}.

Passo 5

Pelo Teorema dos Resíduos,
I = \oint_{|z|=1}f(z)\,dz = 2\pi i\sum_{\text{polos int.}} \Res(f) = 2\pi i\cdot\frac{i}{6} = -\frac{2\pi}{6} = -\frac{\pi}{3}.

Resposta

-\frac{\pi}{3}.

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