Usar o princípio da inclusão e exclusão para achar o número de maneiras de se escolher 8 letras de uma coleção contendo
4 a’s e 6 b’s

Passo 1

O enunciado pede o número de maneiras de escolher 8 letras de uma coleção que tem 4 cópias de a''} e \(6\) cópias de \text{b''. Como as letras de mesmo tipo são idênticas, basta contar soluções inteiras não negativas (x,y) de
x + y = 8
com a restrição de que x \le 4 (número de a’s) e y \le 6 (número de b’s). Vamos usar o princípio da inclusão e exclusão.

Passo 2

Sem nenhuma restrição de máximo, o número de soluções não negativas de x+y=8 é
\binom{8+2-1}{2-1} \;=\;\binom{9}{1}\;=\;9.

Passo 3

Contamos quantas soluções violam x\le4, ou seja, têm x\ge5. Faço a troca x'=x-5\ge0, ficando
x' + y = 8 - 5 = 3.
O número de soluções não negativas dessa equação é
\binom{3+2-1}{2-1} = \binom{4}{1} = 4.

Passo 4

Contamos quantas soluções violam y\le6, isto é, y\ge7. Faço y'=y-7\ge0, então
x + y' = 8 - 7 = 1,
que tem
\binom{1+2-1}{2-1} = \binom{2}{1} = 2
soluções.

Passo 5

Agora contamos quantas soluções violam simultaneamente x\ge5 e y\ge7. Se x'=x-5 e y'=y-7, então
x' + y' = 8 - 5 - 7 = -4,
que não admite solução inteira não negativa, ou seja, são 0 casos.

Passo 6

Pelo princípio da inclusão e exclusão, o total de soluções válidas é
9 \;-\; 4 \;-\; 2 \;+\; 0 \;=\; 3.

Resposta

3

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