Usar o princípio da inclusão e exclusão para achar o número de maneiras de se escolher 8 letras de uma coleção contendo
4 a’s e 6 b’s

Passo 1

O enunciado pede o número de maneiras de escolher 8 letras de uma caixa que contém 4 a’s idênticos e 6 b’s idênticos, usando o princípio da inclusão e exclusão. Vamos tratar cada escolha por quantas letras "a" são selecionadas.

Passo 2

Sem nenhuma restrição, seja k o número de letras “a” escolhidas e 8-k o número de letras “b”. O par (k,8-k) satisfaz k\ge0 e 8-k\ge0, logo k pode ir de 0 até 8. Portanto, sem restrições, há
9
possibilidades.

Passo 3

Agora impomos as limitações da coleção:
1. Como só há 4 a’s, não podemos ter k\ge5. Definimos o conjunto de más escolhas
A = \{k \mid k\ge5\},
que tem \lvert A\rvert = 4 valores ( k=5,6,7,8).
2. Como só há 6 b’s, não podemos ter 8-k\ge7, isto é, k\le1. Definimos
B = \{k \mid k\le1\},
que tem \lvert B\rvert = 2 valores ( k=0,1).

Passo 4

O princípio da inclusão e exclusão dá
N = \bigl(\text{total sem restrição}\bigr) - \lvert A\rvert - \lvert B\rvert + \lvert A\cap B\rvert.çã
Como A\cap B é vazio ( \lvert A\cap B\rvert=0), temos
N = 9 - 4 - 2 + 0 = 3.

Passo 5

Os valores válidos de k são aqueles que ficaram após remover A e B, ou seja k=2,3,4. Cada um desses corresponde a uma escolha viável de 8 letras.

Resposta

O número de maneiras é 3.

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