Usar a propriedade de resolução de equações diferenciais da transformada de Laplace para resolver:
d^2 y(t)d t^2+5 d y(t)d t+6 y(t)=x(t) considerando condições iniciais nulas e um sinal de entrada x(t) impulso unitário.

Passo 1

A questão pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
d^2y(t)dt^2 + 5dy(t)dt + 6y(t) = x(t)
onde as condições iniciais são nulas e x(t) é um impulso unitário de. O conteúdo envolve a transformada de Laplace e as propriedades para derivadas e sinais de entrada impulsivos.

Passo 2

Aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Usando as condições iniciais nulas ( y(0)=0 e y'(0)=0) e sabendo que Lde, temos:
Ly''(t) + 5Ly'(t) + 6Ly(t) = Lde
ou seja
s^2Y(s) + 5sY(s) + 6Y(s) = 1

Passo 3

Isolar Y(s) e fatorar o denominador:
Y(s) = 1s^2 + 5s + 6 = 1(s+2)(s+3)

Passo 4

Decompor em frações parciais:
1(s+2)(s+3) = As+2 + Bs+3
Calculando coeficientes:
A(s+3) + B(s+2) = 1 implies A + B = 0, ; 3A + 2B = 1
Resolvendo o sistema obtenho A = 1 e B = -1. Então
Y(s) = 1s+2 - 1s+3

Passo 5

Aplicar a transformada inversa de Laplace usando L^-11/(s+a) = e^-a t,u(t):
y(t) = e^-2t - e^-3t para t>=0
Este é o valor da resposta ao impulso do sistema.

Resposta

y(t)=e{-2t}-e{-3t}\quad(u(t) implicado)

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