Usar a expansão em frações parciais para determinar a transformada inversa de Laplace do sinal:
X(s)=s^2(s-3)^2

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função no domínio de Laplace X(s)=s^2(s-3)^2 e queremos encontrar a transformada inversa de Laplace x(t) usando expansão em frações parciais. Vamos precisar entender como decompor frações racionais e usar os pares básicos de transformada de Laplace inversa.

Passo 2

Como o grau do numerador é igual ao do denominador, podemos fazer uma divisão polinomial ou usar a substituição s=(s-3)+3. Aqui vamos desenvolver pelo método da substituição para simplificar a fração antes de aplicar a inversa.
Desenvolvendo s^2 em torno de s-3:
s^2 = l((s-3)+3r)^2 = (s-3)^2 + 6(s-3) + 9
Logo,
X(s)=s^2(s-3)^2 = (s-3)^2 + 6(s-3) + 9(s-3)^2 = 1 + 6s-3 + 9(s-3)^2

Passo 3

Relembrando os pares básicos de transformada inversa:
  • L^-11 = de
  • L^-11/(s-a) = e^a tu(t)
  • L^-11/(s-a)^2 = t,e^a tu(t)
    Aqui a=3.

Passo 4

Aplicando a transformada inversa termo a termo, obtemos:
x(t) = de

Resposta

x(t)=\bigl[\delta(t)+6e{3t}+9te{3t}\bigr]u(t)

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