Calcular a transformada de Laplace bilateral do sinal:
x(t)=e^2 t cos (200 pi t), u(t)+t cdot e^t cdot u(t)+3 e^-3 t u(t-2).

Passo 1

No enunciado temos o sinal ,x(t)=e^{2t}\cos(200\pi t)u(t)+t,e{t}u(t)+3e{-3t}u(t-2). Queremos a transformada de Laplace bilateral
X(s)=integral-infty^inftyx(t)e^-stdt
Como cada termo está multiplicado por um degrau, vamos dividir a integral em partes de 0 a ∞ ou de 2 a ∞ e usar fórmulas conhecidas de Laplace.

Passo 2

Para o termo e^2tcos(200pi t)u(t) temos integral de 0 a ∞:
integral0^inftye^2tcos(200pi t)e^-stdt=integral0^inftye^-(s-2)tcos(200pi t)dt
Relembrando que para Rea>0
integral0^inftye^-a tcos(omega t)dt=aa^2+omega^2
Aqui a=s-2 e omega=200pi, então
X1(s)=s-2(s-2)^2+(200pi)^2

Passo 3

Para o termo t,e^tu(t) temos
integral0^inftyt,e^te^-stdt=integral0^inftyt,e^-(s-1)tdt
E sabemos que
integral0^inftyt,e^-a tdt=1a^2(Rea>0)
Com a=s-1, vem
X2(s)=1(s-1)^2

Passo 4

Para o termo 3e^-3tu(t-2) a integral vai de 2 a ∞:
3integral2^inftye^-3te^-stdt=3integral2^inftye^-(s+3)tdt
E usamos
integralT^inftye^-a tdt=e^-aTa(Rea>0)
Com T=2 e a=s+3, dá
X3(s)=3e^-2(s+3)s+3

Resposta

X(s)=\frac{s-2}{(s-2)2+(200\pi)2}+\frac{1}{(s-1)2}+\frac{3e{-2(s+3)}}{s+3}

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