Usar o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha dada.
, onde
é o contorno da parte do plano
que esta no
octante, no sentido anti-horário
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde é o contorno da porção do plano
onde
no primeiro octante, orientado anti-horário.
Vamos aplicar o Teorema de Stokes, que diz
Vamos aplicar o Teorema de Stokes, que diz
onde
e
é a porção do plano com fronteira
.
Passo 2
Calculamos o rotacional
. Se
, então
Aqui
Logo
Portanto
Passo 3
Parametrizamos
pelo plano
com
variando em
O vetor área orientado de
é
onde
. Essa escolha faz com que, olhando na direção de
, o contorno
seja percorrido anti-horário.
Passo 4
O integrando em Stokes é
e assim
O domínio
é
Passo 5
Calculamos a área de
:
Logo