Usar o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha dada.
\oint_{C}\left[\left(e^{x^{2}}\right) d x+(z+x) d y+(2 x-z) d z\right], onde C é o contorno da parte do plano x+2 y+z=4 que esta no 1^{\circ} octante, no sentido anti-horário

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\displaystyle \oint_{C}\bigl[e^{x^{2}}\,dx + (z+x)\,dy + (2x - z)\,dz\bigr]
onde C é o contorno da porção do plano
x + 2y + z = 4
no primeiro octante, orientado anti-horário.
Vamos aplicar o Teorema de Stokes, que diz
\oint_{C}\mathbf F\cdot d\mathbf r \;=\;\iint_{S}(\nabla\times \mathbf F)\cdot \mathbf n\,dS,
onde \mathbf F = \bigl(e^{x^{2}},\,z+x,\,2x - z\bigr) e S é a porção do plano com fronteira C.

Passo 2

Calculamos o rotacional \nabla\times \mathbf F. Se \mathbf F=(P,Q,R), então
\nabla\times \mathbf F =\bigl(R_{y}-Q_{z},\;P_{z}-R_{x},\;Q_{x}-P_{y}\bigr).
Aqui
P=e^{x^{2}},\quad Q=z+x,\quad R=2x-z.
Logo
R_{y}=0,\quad Q_{z}=1\quad\Rightarrow\quad R_{y}-Q_{z}=-1,
P_{z}=0,\quad R_{x}=2\quad\Rightarrow\quad P_{z}-R_{x}=-2,
Q_{x}=1,\quad P_{y}=0\quad\Rightarrow\quad Q_{x}-P_{y}=1.
Portanto
\nabla\times \mathbf F = (-1,\,-2,\,1).

Passo 3

Parametrizamos S pelo plano
z = 4 - x - 2y,
com (x,y) variando em
D=\bigl\{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;4-x-2y\ge0\bigr\}.
O vetor área orientado de S é
d\mathbf S =(-z_x,\,-z_y,\,1)\,dA = (1,\,2,\,1)\,dA,
onde dA=dx\,dy. Essa escolha faz com que, olhando na direção de (1,2,1), o contorno C seja percorrido anti-horário.

Passo 4

O integrando em Stokes é
(\nabla\times \mathbf F)\cdot d\mathbf S = (-1,-2,1)\,\cdot(1,2,1)\,dA = -1 -4 +1 = -4
e assim
\oint_{C}\mathbf F\cdot d\mathbf r =\iint_{D}(-4)\,dA =-4\iint_{D}dA.
O domínio D é
\;0\le x\le4,\;0\le y\le(4-x)/2.

Passo 5

Calculamos a área de D:
\iint_{D}dA =\int_{x=0}^{4}\int_{y=0}^{(4-x)/2} dy\,dx =\int_{0}^{4}\frac{4-x}{2}\,dx =\frac12\Bigl[4x-\frac{x^2}{2}\Bigr]_{0}^{4} =\frac12(16-8)=4.
Logo
\oint_{C}\mathbf F\cdot d\mathbf r =-4\cdot 4 = -16.

Resposta

-16

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