Usar o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha dada.
\oint_{C}[(y+2 z) d x+(2 z+x) d y+(x+y) d z], onde C é a intersecção das superfícies x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 e x=\frac{1}{2}. Considere os dois sentidos de percurso.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\oint_{C}\bigl[(y+2z)\,dx+(2z+x)\,dy+(x+y)\,dz\bigr]
onde C é a interseção da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 com o plano x=\tfrac12. Vamos usar o Teorema de Stokes, que diz
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS,
escolhendo S como o disco de raio \sqrt{1-(\tfrac12)^2}=\tfrac{\sqrt3}{2} no plano x=\tfrac12.

Passo 2

Identificamos
\mathbf{F}=(P,Q,R)=(y+2z,\;2z+x,\;x+y).
O rotacional é
\nabla\times\mathbf{F} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\ \partial_x&\partial_y&\partial_z\\\ y+2z&2z+x&x+y \end{vmatrix} =(-1,\,1,\,0).

Passo 3

O disco S está no plano x=\tfrac12. Um vetor normal unitário é
\mathbf{n}=(1,0,0),
já que esse vetor aponta para o lado de x positivo. Como o plano é perpendicular ao eixo x, tem-se dS=dA, a área no plano yz.

Passo 4

Pelo Teorema de Stokes,
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS =\iint_{D}(-1,1,0)\cdot(1,0,0)\,dA =\iint_{D}(-1)\,dA =-\bigl(\text{área do disco }D\bigr).á
O disco D tem raio \tfrac{\sqrt3}{2}, logo
\text{área}(D)=\pi\Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr)^{2} =\tfrac{3\pi}{4}.á
Portanto,
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=-\frac{3\pi}{4}
quando C é percorrido segundo a regra da mão direita em relação a \mathbf{n}=(1,0,0).

Passo 5

Para o sentido oposto de percurso de C, a integral muda de sinal, ficando
+\frac{3\pi}{4}.

Resposta

Para C orientado segundo a normal (1,0,0):
\oint_{C}[(y+2z)\,dx+(2z+x)\,dy+(x+y)\,dz] =-\frac{3\pi}{4}.
No sentido oposto:
\oint_{C}[(y+2z)\,dx+(2z+x)\,dy+(x+y)\,dz] =+\frac{3\pi}{4}.

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