Usar a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial proposto.
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=\delta(t-\pi) ; \quad y(0)=1, y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + 2y' + 2y = \delta(t - \pi),\quad y(0)=1,\;y'(0)=0
usando a transformada de Laplace. Vamos precisar das fórmulas
\mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)
e da propriedade de deslocamento para \delta(t-\pi).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados e denotando \mathcal{L}\{y\}=Y(s), temos
\bigl[s^2Y(s) - s\cdot y(0) - y'(0)\bigr] + 2\bigl[sY(s)-y(0)\bigr] + 2Y(s) = \mathcal{L}\{\delta(t-\pi)\} = e^{-\pi s}.
Substituindo y(0)=1 e y'(0)=0,
s^2Y(s) - s + 2(sY(s)-1) + 2Y(s) = e^{-\pi s}.

Passo 3

Agrupando termos em Y(s) e isolando,
Y(s)\bigl(s^2 + 2s + 2\bigr) - \bigl(s + 2\bigr) = e^{-\pi s} \quad\Longrightarrow\quad Y(s) = \frac{s+2}{s^2+2s+2} \;+\;\frac{e^{-\pi s}}{s^2+2s+2}.

Passo 4

Para inverter \displaystyle\frac{s+2}{s^2+2s+2}, complete o quadrado:
s^2+2s+2=(s+1)^2+1, \qquad s+2=(s+1)+1.
Logo
\frac{s+2}{(s+1)^2+1} =\frac{s+1}{(s+1)^2+1}+\frac{1}{(s+1)^2+1} \;\xrightarrow{\mathcal{L}^{-1}}\; e^{-t}\cos t + e^{-t}\sin t.

Passo 5

Para \displaystyle\frac{e^{-\pi s}}{(s+1)^2+1} usamos a propriedade do degrau:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{e^{-\pi s}F(s)\Bigr\} = u(t-\pi)\,f(t-\pi).
Como
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{(s+1)^2+1}\Bigr\} =e^{-t}\sin t,
segue que
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{e^{-\pi s}}{(s+1)^2+1}\Bigr\} = u(t-\pi)\,e^{-(t-\pi)}\sin(t-\pi).

Resposta

\boxed{ y(t)=e^{-t}\bigl(\cos t + \sin t\bigr) \;+\; u(t-\pi)\,e^{-(t-\pi)}\sin\bigl(t-\pi\bigr). }

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