Usar a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial proposto.
Passo 1
O enunciado pede para resolver por transformada de Laplace o problema de valor inicial
O conteúdo é equação diferencial linear com coeficientes constantes e forçamento por função degrau. Vamos usar: transformada de derivadas,
, e técnica de frações parciais.
Passo 2
Aplicando
em cada termo e usando iniciais nulas,
Logo a equação no domínio
fica
Passo 3
Isolando
:
Chamemos
então
Passo 4
Fazemos frações parciais em
Multiplicando por
e igualando coeficientes, encontra-se
Logo
Passo 5
Invertendo a transformada não defasada
, obtém-se
Como
temos em
:
Mas observe que
é exatamente
. Em vez de recomputar a integral, notamos que, pela forma de
,
(já que
tinha um
isolado e os outros termos eram ).
Passo 6
Dessa forma, de modo direto por deslocamento,
com
Para
,
e
.
Para ,
e
Para
Usando
e
,
logo para
:
Resposta
Para
:
para
: