Usar a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial proposto.
y^{(4)}+5 y^{\prime \prime}+4 y=1-u_{\pi}(t) ; \quad y(0)=0, y^{\prime}(0)=0, y^{\prime \prime}(0)=0, y^{\prime \prime \prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver por transformada de Laplace o problema de valor inicial
y^{(4)}+5\,y''+4\,y = 1 - u_{\pi}(t), \quad y(0)=y'(0)=y''(0)=y'''(0)=0.
O conteúdo é equação diferencial linear com coeficientes constantes e forçamento por função degrau. Vamos usar: transformada de derivadas, \mathcal{L}\{u_{\pi}(t)\}=e^{-\pi s}/s, e técnica de frações parciais.

Passo 2

Aplicando \mathcal{L} em cada termo e usando iniciais nulas,
\mathcal{L}\{y^{(4)}\}=s^4Y(s),\quad \mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s),\quad \mathcal{L}\{y\}=Y(s),
\mathcal{L}\{1\}=\frac1s,\quad \mathcal{L}\{u_{\pi}(t)\}=\frac{e^{-\pi s}}{s}.
Logo a equação no domínio s fica
\bigl(s^4+5s^2+4\bigr)Y(s)=\frac1s-\frac{e^{-\pi s}}{s}.

Passo 3

Isolando Y(s):
Y(s) =\frac{\displaystyle\frac1s-\frac{e^{-\pi s}}{s}}{(s^2+1)(s^2+4)} =\Bigl(\frac1s-\frac{e^{-\pi s}}{s}\Bigr)\, \frac1{s(s^2+1)(s^2+4)}.
Chamemos
H(s)=\frac1{s(s^2+1)(s^2+4)},
então
Y(s)=\bigl(1-\!e^{-\pi s}\bigr)\,\frac{H(s)}{s}.

Passo 4

Fazemos frações parciais em
H(s)=\frac1{s(s^2+1)(s^2+4)} =\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{s^2+1}+\frac{Ds+E}{s^2+4}.
Multiplicando por s(s^2+1)(s^2+4) e igualando coeficientes, encontra-se
A=\tfrac14,\quad B=-\tfrac13,\;C=0,\quad D=\tfrac1{12},\;E=0.
Logo
H(s)=\frac{1}{4s}-\frac{1}{3}\,\frac{s}{s^2+1}+\frac{1}{12}\,\frac{s}{s^2+4}.

Passo 5

Invertendo a transformada não defasada \mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}, obtém-se
h(t)=\frac14-\frac13\cos t+\frac1{12}\cos2t.
Como
Y(s)=\frac{H(s)}s-\frac{e^{-\pi s}H(s)}s,
temos em t:
y(t)=\int_0^t h(\tau)\,d\tau \;-\;u_{\pi}(t)\int_0^{\,t-\pi}h(\tau)\,d\tau.
Mas observe que \int_0^t h(\tau)\,d\tau é exatamente
\mathcal{L}^{-1}\{H(s)/s\}. Em vez de recomputar a integral, notamos que, pela forma de H(s),
\mathcal{L}^{-1}\{H(s)/s\}=h(t) (já que H(s) tinha um 1/s isolado e os outros termos eram ).

Passo 6

Dessa forma, de modo direto por deslocamento,
y(t)=h(t)-u_{\pi}(t)\,h(t-\pi)
com
h(t)=\frac14-\frac13\cos t+\frac1{12}\cos2t.
Para t<\pi, u_{\pi}(t)=0 e y(t)=h(t).
Para t\ge\pi, u_{\pi}(t)=1 e
y(t)=h(t)-h(t-\pi).
Usando \cos(t-\pi)=-\cos t e \cos2(t-\pi)=\cos2t,
h(t-\pi)=\frac14+\frac13\cos t+\frac1{12}\cos2t,
logo para t\ge\pi:
y(t) =\Bigl(\tfrac14-\tfrac13\cos t+\tfrac1{12}\cos2t\Bigr) -\Bigl(\tfrac14+\tfrac13\cos t+\tfrac1{12}\cos2t\Bigr) =-\tfrac23\cos t.

Resposta

Para 0\le t<\pi:
y(t)=\frac14-\frac13\cos t+\frac1{12}\cos2t,
para t\ge\pi:
y(t)=-\frac23\cos t.

Exercícios relacionados