Usar a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial proposto.
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=\delta(t)+u_{2 \pi}(t) ; \quad y(0)=0, y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O problema é a EDO com impulso e degrau deslocado
y''+2y'+y=\delta(t)+u_{2\pi}(t),
com condições iniciais y(0)=0, y'(0)=1.
Conteúdo: transformada de Laplace e propriedade de deslocamento no tempo.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados, lembrando
\mathcal L\{y''\}=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0), \mathcal L\{y'\}=sY(s)-y(0),
\mathcal L\{\delta(t)\}=1, \mathcal L\{u_{2\pi}(t)\}=e^{-2\pi s}/s.
Temos
\bigl(s^2Y-1\bigr)+2\bigl(sY\bigr)+Y=1+\frac{e^{-2\pi s}}s.

Passo 3

Reunindo termos em Y(s):
(s^2+2s+1)\,Y(s)-1 = 1+\frac{e^{-2\pi s}}s \;\Longrightarrow\; (s+1)^2Y(s)=2+\frac{e^{-2\pi s}}s.
Logo
Y(s)=\frac{2}{(s+1)^2} \;+\;\frac{e^{-2\pi s}}{s\,(s+1)^2}.

Passo 4

Invertendo a parte não deslocada
\mathcal L^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{2}{(s+1)^2}\Bigr\} =2\,t\,e^{-t}.

Passo 5

Para a fração \tfrac1{s(s+1)^2} fazemos frações parciais:
\frac1{s(s+1)^2} =\frac1s-\frac1{s+1}-\frac1{(s+1)^2}.
Então
\mathcal L^{-1}\!\Bigl\{\tfrac1{s(s+1)^2}\Bigr\} =1 - e^{-t} - t\,e^{-t}.

Passo 6

Usando a propriedade de deslocamento no tempo, a parte com e^{-2\pi s} vira
u_{2\pi}(t)\,\bigl[\,1 - e^{-(t-2\pi)} - (t-2\pi)e^{-(t-2\pi)}\bigr].
Somando tudo, a solução é
y(t)=2\,t\,e^{-t} +u_{2\pi}(t)\,\bigl[\,1 - e^{-(t-2\pi)} - (t-2\pi)e^{-(t-2\pi)}\bigr].

Resposta

y(t)=2\,t\,e^{-t} +u_{2\pi}(t)\,\bigl[\,1 - e^{-(t-2\pi)} - (t-2\pi)\,e^{-(t-2\pi)}\bigr].

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