Usar a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial proposto.
y^{(4)}-y=\delta(t-1) ; \quad y(0)=0, y^{\prime}(0)=0, y^{\prime \prime}(0)=0, y^{\prime \prime \prime}(0)=0

Passo 1

O problema é a EDO com forçamento impulsivo
y^{(4)} - y = \delta(t-1)
com condições iniciais y(0)=y'(0)=y''(0)=y'''(0)=0.
O método é usar a transformada de Laplace para obter Y(s)=\mathcal L\{y(t)\} e depois inverter usando frações parciais e o teorema do deslocamento no tempo.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Como todas as condições iniciais são zero,
\mathcal L\{y^{(4)}\}=s^4Y(s), \quad \mathcal L\{y\}=Y(s), \quad \mathcal L\{\delta(t-1)\}=e^{-s}.
Logo a equação transformada é
s^4Y(s)-Y(s)=e^{-s} \quad\Longrightarrow\quad Y(s)\bigl(s^4-1\bigr)=e^{-s}.

Passo 3

Isolando Y(s) obtemos
Y(s)=\frac{e^{-s}}{s^4-1}.

Passo 4

Para inverter precisamos de \displaystyle\frac1{s^4-1}. Fatoramos s^4-1=(s^2-1)(s^2+1)=(s-1)(s+1)(s^2+1) e fazemos frações parciais:
\frac1{s^4-1} =\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s+1}+\frac{Cs+D}{s^2+1}.
Resolvendo para A,B,C,D encontra-se
A=\tfrac14,\quad B=-\tfrac14,\quad C=0,\quad D=-\tfrac12,
ou seja
\frac1{s^4-1} =\frac1{4(s-1)}-\frac1{4(s+1)}-\frac1{2(s^2+1)}.

Passo 5

Invertendo cada termo:
\mathcal L^{-1}\Bigl\{\tfrac1{4(s-1)}\Bigr\}=\tfrac14e^{t},\quad \mathcal L^{-1}\Bigl\{-\tfrac1{4(s+1)}\Bigr\}=-\tfrac14e^{-t},\quad \mathcal L^{-1}\Bigl\{-\tfrac1{2(s^2+1)}\Bigr\}=-\tfrac12\sin t.
Portanto
f(t)=\mathcal L^{-1}\Bigl\{\tfrac1{s^4-1}\Bigr\} =\frac14e^{t}-\frac14e^{-t}-\frac12\sin t.

Passo 6

Como Y(s)=e^{-s}\cdot\bigl(1/(s^4-1)\bigr), aplicamos o deslocamento no tempo:
y(t)=u(t-1)\,f(t-1) =u(t-1)\Bigl[\tfrac14e^{\,t-1}-\tfrac14e^{-(t-1)}-\tfrac12\sin(t-1)\Bigr].

Resposta

y(t) = u(t-1)\Bigl(\tfrac14e^{\,t-1}-\tfrac14e^{-(t-1)}-\tfrac12\sin(t-1)\Bigr).

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