Usar a transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial abaixo:
y^{(4)}-4 y^{\prime \prime \prime}+6 y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+y=0 ; y(0)=0, y^{\prime}(0)=1, y^{\prime \prime}(0)=0, y^{\prime \prime \prime}(0)=1.
TABLE 6.2.1 Elementary Laplace Transforms
f(t)=\mathcal{L}^{-1}{F(s)} F(s)=\mathcal{L}{f(t)} Notes
1.1 \frac{1}{s}, \quad s>0 Sec. 6.1; Ex. 4
2. e^{a t} \frac{1}{s-a}, \quad s>a Sec. 6.1; Ex. 5
3. t^{n}; n= positive integer \frac{n!}{s^{n+1}}, \quad s>0 Sec. 6.1; Prob. 27
4. t^{p}, p>-1 \frac{\Gamma(p+1)}{s^{p+1}}, \quad s>0 Sec. 6.1; Prob. 27
5. sin at \frac{a}{s^{2}+a^{2}}, \quad s>0 Sec. 6.1; Ex. 6
6. \cos a t \frac{s}{s^{2}+a^{2}}, \quad s>0 Sec. 6.1; Prob. 6
7. \operatorname{sinh} a t (\frac{a}{s{2}-a{2}}, \quad s> a ) Sec. 6.1; Prob. 8
8. cosh a t (\frac{s}{s{2}-a{2}}, \quad s> a ) Sec. 6.1; Prob. 7
9. e^{a t} \sin b t \frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}, \quad s>a Sec. 6.1; Prob. 13
10. e^{a t} \cos b t \frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}, \quad s>a Sec. 6.1; Prob. 14
11. t^{n} e^{a t}, n= positive integer \frac{n!}{(s-a)^{n+1}}, \quad s>a Sec. 6.1; Prob. 18
12. u_{c}(t) \frac{e^{-c s}}{s}, \quad s>0 Sec. 6.3
13. u_{c}(t) f(t-c) e^{-c s} F(s) Sec. 6.3
14. e^{c t} f(t) F(s-c) Sec. 6.3
15. f(c t) \frac{1}{C} F\left(\frac{S}{C}\right), \quad C>0 Sec. 6.3; Prob. 19
16. \int_{0}^{t} f(t-\tau) g(\tau) d \tau F(s) G(s) Sec. 6.6
17. \delta(t-c) e^{-c s} Sec. 6.5
18. f^{(n)}(t) s^{n} F(s)-s^{n-1} f(0)-\cdots-f^{(n-1)}(0) Sec. 6.2
19. (-t)^{n} f(t) F^{(n)}(s) Sec. 6.2; Prob. 28

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y^{(4)}-4\,y'''+6\,y''-4\,y'+y=0
com condições
y(0)=0,\quad y'(0)=1,\quad y''(0)=0,\quad y'''(0)=1.
O conteúdo aqui é usar a transformada de Laplace para transformar a EDO em uma equação algébrica em s, resolver para Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} e, em seguida, aplicar a transformada inversa para obter y(t).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada derivada usando a propriedade
\mathcal{L}\{y^{(n)}\}=s^nY(s)-s^{n-1}y(0)-\cdots-y^{(n-1)}(0).
Com as condições iniciais dadas, temos
\begin{aligned} \mathcal{L}\{y^{(4)}\}&=s^4Y(s)-s^3y(0)-s^2y'(0)-s\,y''(0)-y'''(0)=s^4Y(s)-s^2-1,\\\ \mathcal{L}\{y'''\}&=s^3Y(s)-s^2y(0)-s\,y'(0)-y''(0)=s^3Y(s)-s,\\\ \mathcal{L}\{y''\}&=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)=s^2Y(s)-1,\\\ \mathcal{L}\{y'\}&=sY(s)-y(0)=sY(s),\\\ \mathcal{L}\{y\}&=Y(s). \end{aligned}

Passo 3

Substituindo na transformada da EDO obtemos
(s^4Y - s^2 -1)-4(s^3Y - s)+6(s^2Y -1)-4(sY)+Y=0.
Agrupando termos em Y(s) e termos livres,
Y(s)\bigl(s^4-4s^3+6s^2-4s+1\bigr)=s^2-4s+7.
Mas s^4-4s^3+6s^2-4s+1=(s-1)^4. Logo
Y(s)=\frac{s^2-4s+7}{(s-1)^4}.

Passo 4

Para inverter, escrevemos o numerador em termos de u=s-1:
s^2-4s+7=(u+1)^2-4(u+1)+7=u^2-2u+4.
Então
Y(s)=\frac{u^2-2u+4}{u^4} =\frac{1}{u^2}-2\frac{1}{u^3}+4\frac{1}{u^4} =\frac{1}{(s-1)^2}-2\frac{1}{(s-1)^3}+4\frac{1}{(s-1)^4}.

Passo 5

Usamos as transformadas inversas elementares:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{(s-1)^2}\Bigr\}=t\,e^{t},\quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{(s-1)^3}\Bigr\}=\frac{t^2\,e^{t}}{2},\quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{(s-1)^4}\Bigr\}=\frac{t^3\,e^{t}}{6}.
Portanto
y(t)=t\,e^{t}-2\cdot\frac{t^2\,e^{t}}{2}+4\cdot\frac{t^3\,e^{t}}{6} =e^{t}\Bigl(t -t^2+\tfrac{2}{3}t^3\Bigr).

Resposta

y(t)=e^{t}\Bigl(t -t^2+\tfrac{2}{3}t^3\Bigr).

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