Usar a transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial abaixo:
y^{\prime \prime}+y=\delta(t-2 \pi) \cos t ;\quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1.
TABLE 6.2.1 Elementary Laplace Transforms
f(t)=\mathcal{L}^{-1}{F(s)} F(s)=\mathcal{L}{f(t)} Notes
1.1 \frac{1}{s}, \quad s>0 Sec. 6.1; Ex. 4
2. e^{a t} \frac{1}{s-a}, \quad s>a Sec. 6.1; Ex. 5
3. t^{n}; n= positive integer \frac{n!}{s^{n+1}}, \quad s>0 Sec. 6.1; Prob. 27
4. t^{p}, p>-1 \frac{\Gamma(p+1)}{s^{p+1}}, \quad s>0 Sec. 6.1; Prob. 27
5. sin at \frac{a}{s^{2}+a^{2}}, \quad s>0 Sec. 6.1; Ex. 6
6. \cos a t \frac{s}{s^{2}+a^{2}}, \quad s>0 Sec. 6.1; Prob. 6
7. \operatorname{sinh} a t (\frac{a}{s{2}-a{2}}, \quad s> a ) Sec. 6.1; Prob. 8
8. cosh a t (\frac{s}{s{2}-a{2}}, \quad s> a ) Sec. 6.1; Prob. 7
9. e^{a t} \sin b t \frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}, \quad s>a Sec. 6.1; Prob. 13
10. e^{a t} \cos b t \frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}, \quad s>a Sec. 6.1; Prob. 14
11. t^{n} e^{a t}, n= positive integer \frac{n!}{(s-a)^{n+1}}, \quad s>a Sec. 6.1; Prob. 18
12. u_{c}(t) \frac{e^{-c s}}{s}, \quad s>0 Sec. 6.3
13. u_{c}(t) f(t-c) e^{-c s} F(s) Sec. 6.3
14. e^{c t} f(t) F(s-c) Sec. 6.3
15. f(c t) \frac{1}{C} F\left(\frac{S}{C}\right), \quad C>0 Sec. 6.3; Prob. 19
16. \int_{0}^{t} f(t-\tau) g(\tau) d \tau F(s) G(s) Sec. 6.6
17. \delta(t-c) e^{-c s} Sec. 6.5
18. f^{(n)}(t) s^{n} F(s)-s^{n-1} f(0)-\cdots-f^{(n-1)}(0) Sec. 6.2
19. (-t)^{n} f(t) F^{(n)}(s) Sec. 6.2; Prob. 28

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem
y''(t) + y(t) = \delta(t - 2\pi)\,\cos t
com condições iniciais y(0)=0, y'(0)=1, usando transformada de Laplace. Vamos usar:
– Propriedade das derivadas (Tabela, item 18).
– Propriedade do delta (Tabela, item 17).
– Teorema do deslocamento (Tabela, item 13).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace a ambos os lados. Chamando Y(s)=\mathcal L\{y(t)\},
\mathcal L\{y''\} + \mathcal L\{y\} = \mathcal L\{\delta(t-2\pi)\cos t\}.
Usando
\mathcal L\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)=s^2Y(s)-1, \quad \mathcal L\{y\}=Y(s),
e
\mathcal L\{\delta(t-2\pi)\cos t\} =e^{-2\pi s}\cos(2\pi)=e^{-2\pi s}\cdot1,
obtém-se
(s^2+1)Y(s)-1 = e^{-2\pi s}.

Passo 3

Isolando Y(s),
Y(s) = \frac{1 + e^{-2\pi s}}{s^2+1}.

Passo 4

Escrevemos
Y(s) = \frac{1}{s^2+1} \;+\;\frac{e^{-2\pi s}}{s^2+1}.
Pela Tabela, \mathcal L^{-1}\{1/(s^2+1)\}=\sin t. E pelo teorema do deslocamento,
\mathcal L^{-1}\!\Bigl\{\frac{e^{-2\pi s}}{s^2+1}\Bigr\} = u_{2\pi}(t)\,\sin\bigl(t-2\pi\bigr).
Logo
y(t) = \sin t + u_{2\pi}(t)\,\sin\bigl(t-2\pi\bigr).

Passo 5

Observando que \sin(t-2\pi)=\sin t, podemos escrever a solução em forma peça:
y(t)= \begin{cases} \sin t, & 0\le t<2\pi,\\\ \sin t + \sin t = 2\sin t, & t\ge2\pi. \end{cases}

Resposta

y(t) = \sin t + u_{2\pi}(t)\,\sin\bigl(t-2\pi\bigr),
ou, equivalentemente,
y(t)= \begin{cases} \sin t, & 0\le t<2\pi,\\\\ 2\sin t, & t\ge2\pi. \end{cases}

Exercícios relacionados