Usar a transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial abaixo: y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=f(t) onde f(t)=\left\{\begin{array}{cc}1, & 0 \leq t<10 \\\\ 0, & t \geq 10\end{array} ; y(0)=0, y^{\prime}(0)=0\right..
Aplicando a transformada de Laplace à equação, usando \mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0) e \mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0) com condições nulas, obtemos
Invertendo a Laplace termo a termo, usando \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac1{s}\}=1, \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac1{s+1}\}=e^{-t}, \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac1{s+2}\}=e^{-2t}, obtemos
g(t)=\frac12 - e^{-t} + \frac12 e^{-2t}.
Pelo teorema do deslocamento no tempo, a parte e^{-10s}G(s) gera u_{10}(t)\,g(t-10). Portanto