Use algum critério de comparação para concluir sobre a convergência das séries: \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{4}{(n-1)^{2}}
Passo 1
O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{4}{(n-1)^{2}}
Pergunta: concluir sobre a convergência dessa série. Informação relevante: para n=1 o termo \frac{4}{(n-1)^2}=\frac{4}{0} é indefinido. Portanto a série, como escrita, tem um termo problemático no primeiro índice. No entanto, uma série é definida pela soma de uma sequência de termos; excluir ou alterar um número finito de termos não altera a convergência. Assim vou considerar a sequência de termos para n\ge 2, isto é os termos
a_n=\frac{4}{(n-1)^2},\qquad n\ge 2,
e decidir se
\sum_{n=2}^{\infty} a_n
converge ou diverge. (Observação: tratar desse ajuste do índice é necessário porque o termo n=1 é indefinido; remover um termo finito não muda a conclusão sobre convergência.)
Passo 2
Primeira lição rápida (p/ prova): o que é uma série p (p-series)?
A série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1. No caso p=2 temos uma série convergente porque 2>1. Essa é uma ferramenta padrão de comparação.
Segunda lição rápida: teste de comparação por limite (limit comparison test). Suponha a_n>0 e b_n>0 para n grande. Se
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L
com 0<L<+\infty, então \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem. Na prática escolhemos b_n simples (como uma p-série) e calculamos o limite.
Passo 3
Aplicando o teste de comparação por limite: defino
A série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} é a clássica p-série com p=2>1, portanto converge. Remover o termo n=1 não altera a convergência, então \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^2} também converge. Multiplicar por 4 não muda a convergência. Logo \sum b_n converge.
Passo 6
Concluindo: pelo teste de comparação por limite, já que \sum b_n converge e \lim a_n/b_n=1, a série
converge. Voltando ao enunciado original: o termo de n=1 era indefinido, mas como remover um número finito de termos não altera a convergência, a conclusão prática é que a série (interpretada eliminando o termo indefinido) é convergente. Como os termos são positivos, a convergência é absoluta (na verdade é simples convergência positiva).