A partir do termo geral, conclua sobre a convergência das séries:
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n!}{2^{n}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{2^{n}}
e pede para concluir se essa série converge ou diverge. A informação relevante é o termo geral a_n=\frac{n!}{2^{n}}. Não há mais dados; a pergunta é apenas sobre a convergência dessa série infinita.

Passo 2

Vamos recordar um fato básico (necessário) sobre séries, explicado de forma simples: se a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge, então os termos do somatório têm que tender a zero, isto é,
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Por que isso acontece? Pense nas somas parciais s_N=\sum_{n=1}^{N} a_n. Se s_N tende a um número finito S, então a diferença entre somas consecutivas s_{N+1}-s_N=a_{N+1} tende a S-S=0. Portanto, verificar se a_n\to0 é um teste rápido e necessário: se a_n não tende a zero, a série necessariamente diverge.

Passo 3

Vamos estudar o comportamento do termo geral a_n=\frac{n!}{2^{n}}. Uma maneira direta é olhar para a razão entre termos consecutivos (isso também é a ideia da razão de d’Alembert). Calculemos
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{(n+1)!}{2^{\,n+1}}}{\dfrac{n!}{2^{\,n}}} = \frac{(n+1)!}{2^{\,n+1}}\cdot\frac{2^{\,n}}{n!}.
Agora simplificamos n! e as potências de 2:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+1}{2}.
Esse resultado diz que cada termo é obtido do anterior multiplicando por \frac{n+1}{2}.

Passo 4

Analise o comportamento de \frac{n+1}{2} quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2}=+\infty.
Em particular, para n\ge 3 temos \frac{n+1}{2}\ge 2, então a partir de n=3 a sequência a_n pelo menos dobra a cada passo: a_{n+1}\ge 2a_n. Isso implica que a_n cresce sem limite e, portanto,
\lim_{n\to\infty} a_n = +\infty \quad\text{(portanto não tende a zero).}ã
Usando o fato do Passo 2 (condição necessária), se os termos não tendem a zero a série não pode convergir.
Além disso, podemos aplicar a razão de d’Alembert formalmente: como
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=+\infty>1,
a razão de d’Alembert garante divergência da série.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{2^{n}} diverge.

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