Use algum critério de comparação para concluir sobre a convergência das séries:
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2}{n \cdot 5^{n}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2}{n\cdot 5^{n}}
e pede que usemos algum critério de comparação para concluir sobre a convergência dessa série. Informações relevantes que temos: cada termo da série é da forma \frac{2}{n\cdot 5^{n}} para n\ge 1; os termos são positivos (pois n>0 e 5^{n}>0). O que se pede: decidir se a série converge ou diverge, justificando por um critério de comparação.

Passo 2

Verificamos que os termos são não negativos:
\frac{2}{n\cdot 5^{n}}>0\quad\text{para todo }n\ge 1.
Isso é importante porque os critérios de comparação clássicos (comparação direta) exigem trabalhar com séries de termos não negativos. Aqui está tudo certo: numerador 2>0, denominador n\cdot 5^{n}>0.

Passo 3

Apresento o critério de comparação direta (forma usada aqui):
sejam (a_n) e (b_n) sequências com 0\le a_n\le b_n para todo n suficientemente grande. Se \sum b_n converge, então \sum a_n também converge. A ideia é simples: comparar com uma série maior que já se sabe convergente; se a maior somável, a menor também é.

Passo 4

Precisamos encontrar uma série \sum b_n convergente tal que
0\le \frac{2}{n\cdot 5^{n}} \le b_n
para todo n (ou para n grande o bastante). Uma observação útil e simples: para todo n\ge 1 temos n\ge 1, então \frac{1}{n}\le 1. Usando isso,
\frac{2}{n\cdot 5^{n}} \le \frac{2}{1\cdot 5^{n}}=\frac{2}{5^{n}}.
Portanto podemos escolher b_n=\dfrac{2}{5^{n}}.

Passo 5

Agora analisamos a série \sum b_n=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2}{5^{n}}. Essa é uma série geométrica multiplicada por constante. Lembrando o fato sobre séries geométricas: a série \sum_{n=1}^{\infty} r^{n} converge se, e somente se, |r|<1, e nesse caso o seu somatório vale \dfrac{r}{1-r}. Aqui temos r=\dfrac{1}{5}, que satisfaz |r|<1. Então
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{5^{n}} = 2\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{5}\right)^{n} =2\cdot\frac{\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{5}} =2\cdot\frac{\frac{1}{5}}{\frac{4}{5}} =2\cdot\frac{1}{4} =\frac{1}{2}.
Logo \sum b_n converge (e seu valor é \tfrac{1}{2}, embora o valor não seja necessário para concluir a convergência da série original).

Passo 6

Aplicando o critério de comparação direta: como para todo n\ge 1
0\le \frac{2}{n\cdot 5^{n}} \le \frac{2}{5^{n}}
e \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2}{5^{n}} converge, concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n\cdot 5^{n}}
também converge. Como os termos são positivos, a convergência é, em particular, convergência absoluta.

Resposta

A série converge (convergência absoluta).

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