Use algum critério de comparação para concluir sobre a convergência das séries:
Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede que usemos algum critério de comparação para concluir sobre a convergência dessa série. Informações relevantes que temos: cada termo da série é da forma
para
; os termos são positivos (pois
e
). O que se pede: decidir se a série converge ou diverge, justificando por um critério de comparação.
Passo 2
Verificamos que os termos são não negativos:
Isso é importante porque os critérios de comparação clássicos (comparação direta) exigem trabalhar com séries de termos não negativos. Aqui está tudo certo: numerador
, denominador
.
Passo 3
Apresento o critério de comparação direta (forma usada aqui):
sejam e
sequências com
para todo
suficientemente grande. Se
converge, então
também converge. A ideia é simples: comparar com uma série maior que já se sabe convergente; se a maior somável, a menor também é.
sejam
Passo 4
Precisamos encontrar uma série
convergente tal que
para todo
(ou para
grande o bastante). Uma observação útil e simples: para todo
temos
, então
. Usando isso,
Portanto podemos escolher
.
Passo 5
Agora analisamos a série
. Essa é uma série geométrica multiplicada por constante. Lembrando o fato sobre séries geométricas: a série
converge se, e somente se,
, e nesse caso o seu somatório vale
. Aqui temos
, que satisfaz
. Então
Logo
converge (e seu valor é
, embora o valor não seja necessário para concluir a convergência da série original).
Passo 6
Aplicando o critério de comparação direta: como para todo
e
converge, concluímos que
também converge. Como os termos são positivos, a convergência é, em particular, convergência absoluta.
Resposta
A série converge (convergência absoluta).